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Savoir de base

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Màj : 2 août 2020   –   # pages : 11 [?]

Introduction

https://jortay.net/savoir-de-base#intro
savoir-de-base.png

La philosophie et la science traitent du savoir : la première s'intéresse au savoir pourquoi, la seconde au savoir comment.

Cependant la frontière entre ces deux approches n'est pas nette, il y des incursions, par le biais de différentes formes de langages. La linguistique semble plus adaptée à la philosophie (quoique ...) tandis que les scientifiques préfèrent souvent (mais pas toujours) les mathématiques et l'informatique.

Le schéma suivant propose une synthèse de la relation historique et logique entre ces notions.

Le présent article est une tentative (en cours) de synthétiser les bases du savoir scientifique, par le biais du concept de noyau informationnel. Un noyau informationnel est la synthèse la plus petite en nombre de kilobits que l'on puisse faire d'une thématique. Il contient l'information minimale permettant de déduire tout le reste de la thématique. On peut faire un lien avec l'antisèche, le noyau d'un fruit, le noyau cellulaire ou encore le noyau de système d'exploitation.

L'étude d'un phénomène et l'apprentissage d'une matière consistent à en isoler le noyau informationnel. Pour ce faire il faut comprendre la logique du phénomène ou de la thématique.

Chaque section de ce document présente le noyau informationnel d'une thématique. Leur contenu a été réalisé à partir des exceptionnelles vidéos de clipedia.be, réalisées par des professeurs et chercheurs de l'Université libre de Bruxelles. Chaque section peut être vue comme un résumé – écrit et illustré – d'une ou plusieurs vidéos. Une autre plus-value du présent document par rapport au site clipedia.be est la double numérotation :

  • thématiques : numérotation des sections, reflétant le développement scientifique historique et logique (mathématique et physique précédant chimie et biologie);
  • équations : numérotation des équations "clés" ≡ le fil rouge de ce développement :
    • numérotation rouge : première apparition de l'équation ⇒ présentée avec sa démonstration;
    • numérotation noire : renvois, à partir de démonstrations, vers des équations utilisées dans celles-ci.
Défi

J'ai développé pour ce faire ma propre technologie (en JavaScript et PHP) de numérotation adaptative des sommaires, sections et références intra-documentaires. Je suis ainsi outillé pour réaliser ce qui est loin d'être évident : est-il possible et rationnel de numéroter logiquement un fil rouge du développement scientifique ? La réponse n'est pas évidente, notamment parce que (i) ce développement est fait de concomitances ; (ii) d'autre part de nombreux faits expérimentaux n'ont été démontrés mathématiquement qu'ultérieurement (et inversement) grâce à d'autres progrès qui par rapport à ces faits expérimentaux (ou théoriques) furent subséquents et connexes. Il n'est donc pas évident de délier cet écheveau d'intrications spatio-temporelles en un "fil rouge". Cependant les premières sections de ce document suscitent l'optimisme ...

Si vous préparez l'examen d'entrée en faculté de médecine ou en école polytechnique, ce document est fait pour vous ! N.B. : ce document, encore très incomplet, est une publication en édition continue (PEC) créée récemment (juin 2020) : pour être informé.e de l'ajout des nouvelles sections à venir abonnez-vous à mon compte Twitter ou à ma page Facebook.

Trigonométrie

https://jortay.net/savoir-de-base#trigonometrie
radian.png

Exprimer l'angle a en radians c'est l'exprimer par rapport à une unité correspondant à une longueur d'arc égale au rayon R. Pour trouver la valeur de 1 radian en degrés on procède donc par règle de trois :

RADARCDEG
1R?
π / 2 / Rπ/290
190 * 2 * R / π
1R=1180 / π ≈ 180 / 3,1416 = 57,3

Un intérêt du radian, en liant toute grandeur d'angle à une longueur d'arc correspondante (pour un R déterminé *), est de faciliter la mesure des angles : on mesure la longueur de l'arc ⇒ on en déduit la taille de l'angle en degrés (alors que pour mesurer directement en degré il faut utiliser un rapporteur).

(*) Mais dans le cercle trigonométrique on suppose toujours R=1

somme-angles-triangle.png

La somme des angles d'un triangle quelconque vaut 180° ou π rad.
C'est un résultat que l'on peut deviner intuitivement en réalisant que 180° c'est la moitié d'un cercle. Historiquement la première démonstration (ci-contre) fut probablement visuelle (géométrique). Elle confirme, par translation du triangle, cette intuition de développement des trois côtés en une ligne droite.

trigonometrie.png

Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle :
R2 = x2 + y2 .


Historiquement la première démonstration fut probablement visuelle (géométrique) :

  1. la rotation de l'hypoténuse R correspondant aux surfaces x2 et y2 génère la surface R2;
  2. la surface R2 pivote autour du même point pour inscrire son côté supérieur dans la surface y2;
  3. les trois surfaces à l'extérieur de R2 remplissent exactement les deux surfaces vides à l'intérieur de R2 ⇔ la surface R2 égale la somme des surface x2 et y2. CQFD.
pythagore.png

Nous en verrons une démonstration mathématique dans la section consacrée aux vecteurs (produit scalaire).

sin-cos.png

Définition (⇒ ne se démontre pas) : dans un triangle rectangle le sinus d'un angle est le rapport entre son côté opposé et l'hypoténuse :
sin(a) = y / R
y = R * sin(a) : y est la projection de R par sin(a)
R = y / sin(a) : R est la projection de y par 1/sin(a)

Définition : dans un triangle rectangle le cosinus d'un angle est le rapport entre son côté adjacent (c-à-d celui qui le relie à l'angle droit) et l'hypoténuse :
cos(a) = x / R
x = R * cos(a) : x est la projection de R par cos(a)
R = x / cos(a) : R est la projection de x par 1/cos(a)

Par n_sin(a)=y/R et n_cos(a)=x/R :
cos(a) = sin (b)

Par n_cos(a)=sin(b) et n_somme-angles-triangle :
cos(a) = sin (90-a)

Loi de projection. On peut alors généraliser en disant que :

  • tout côté adjacent de l'hypoténuse est la projection de celle-ci par le cosinus de l'angle qu'il forme avec elle, ou par le sinus de l'angle opposé ;
  • l'hypoténuse est la projection de chacun des autres côtés par l'inverse du cosinus de l'angle qu'il forme avec lui , ou par l'inverse du sinus de l'angle opposé.
loi-sinus.png

Loi des sinus : dans un triangle quelconque le rapport entre le sinus d'un angle et son côté opposé est identique pour les trois angles ⇒
sin(α) / a = sin(β) / b = sin(γ) / c .
Démonstration par n_projection1 :
H = c * sin(β) = b * sin(γ) ⇔
H = c / sin(γ) = b / sin(β) ⇒
même principe en prenant un autre côté commé référentiel ⇒ CQFD.

Par n_sin(a)=y/R et n_cos(a)=x/R substitués dans n_pythagore :
sin2(a) + cos2(a) = 1

tangente.png

Définition : dans un triangle rectangle la tangente d'un angle α (exprimé en radians) est le rapport entre sin(α) et cos(α) :
tan(α) = sin(α) / cos(α)
ou encore entre ses côtés opposé (y) et adjacent (x) :
tan(α) = y / x :
tan(α) est la pente de l'hypoténuse
y = x * tan(α) : y est la projection de x par tan(α)
x = y / tan(α) : x est la projection de y par 1/tan(α)

Propriétés visuelles remarquables :
• si α petit ⇒ sin(α) ≈ α et cos(α) ≈ 1 tg(α) ≈ α
⇔ la droite de longueur tg(α) et la courbe de longueur α se confondent.

La fonction tan() est particulière :

  1. à l'instar des fonction sin() et cos() elle est périodique, leur période étant de π radians ⇒
    tan(α) = tan(π-α) = - tan(α - π)
    de par la seconde égalité la fonction tangente est dite "anti-symétrique" exemple : tan(225°) = tan(225°-180°) = tan(45°) = 1
  2. mais les sommets de la fonction tan() sont à l'infini.
Mplwp sin cos tan piaxis
sin(a+b).png

Addition : soient a et b deux angles quelconques dans le cercle trigonométrique de rayon 1 :

  • sin(a+b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b)
  • cos(a+b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b)

Pour démontrer sin(a+b) on détermine un référentiel pour l'angle b, obtenu par rotation du référentiel de a par la valeur de a. On va alors projeter sin(b) et cos(b) sur l'axe des sinus dans le référentiel de a :
(i) le segment rouge continu est la projection du rayon R=1 par cos(b) c-à-d cos(b) ⇒ par n_cos(a)=sin(90-a) sa projection sur le segment rouge hachuré vaut sin(a) * cos(b)
(ii) le segment bleu hachuré (translaté à droite) est la projection de sin(b) par cos(a) c-à-d cos(a) * sin(b) (PS : c'est bien l'angle a que l'on retrouve là car ses côtés sont perpendiculaires à ceux de a originel).

cos(a+b).png

Même principe pour démontrer cos(a+b), mais cette fois ci on va projeter sin(b) et cos(b) sur l'axe des cosinus dans le référentiel de a :
(i) le segment fléché en violet est la projection de R=1 par cos(a+b);
(ii) le segment fléché en rouge est la projection de cos(b) par cos(a);
(iii) le segment fléché en bleu est la projection de sin(b) par sin(a) (PS : c'est bien l'angle a que l'on retrouve là car ses côtés sont perpendiculaires à ceux de a originel);
(iv) on voit alors que le segment violet vaut le rouge moins le bleu.

Et en remplaçant b par -b on trouve facilement que :

  • sin(a-b) = sin(a) * cos(b) - cos(a) * sin(b)
  • cos(a-b) = cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b)
30-45-degres.png

Pour résoudre de nombreux calculs il est utile de connaître le sin et cos des "angles clés" que sont 30° et 45°.

Si a=30° alors son symétrique par rapport à l'axe X forme avec a un angle de 60° ⇒ comme il y a symétrie chacun des deux autres angles vaut donc (180-60)/2=60° ⇒ le triangle est équilatéral ⇒ les trois côtés valent 1 ⇒
sin(30) = 1/2
⇒ par n_sin2(a)+cos2(a)=1 : 1/4 + cos2(30) = 1 ⇒
cos(30) = √3 / 2

Si a=45° alors par symétrie sin(45)=cos(45) ⇒ par n_sin2(a)+cos2(a)=1 :
sin(45) = cos(45) = 1 / √2

Vecteur

https://jortay.net/savoir-de-base#vecteur

Un vecteur est défini par une origine, une longueur (norme≈module), une direction et un sens (signe). Un vecteur peut être placé à différent endroits de l'espace par translation. Par conséquent on peut le placer à l'origine x=y=0 de son référentiel de sorte que le vecteur a est entièrement défini par ses coordonnées (ax, ay) ce qui a notamment pour effet de simplifier les calculs.

vecteur-translation.png

La norme est une grandeur mathématique (sans dimension c-à-d sans unité) tandis que le module est une grandeur physique (avec unité, par exemple le Newton). Le module de a se note et se calcule comme suit : || a|| = √(ax2 + ay2) n_pythagore. Par convention on écrit souvent a au lieu de || a|| .

Pour additionner deux vecteurs a et (-)b :

  • géométriquement : on place, par translation, l'origine de (-)b à l'extrémité de a
    • a + (-)b est le vecteur allant de l'origine de a à l'extrémité de (-)b
    • a - b est aussi le vecteur allant de l'extrémité de b à celle de a
      ⇔ on a bien que b + (a - b) = a
  • mathématiquement : a + b = (ax, ay) + (bx, by) = ( ax + bx , ay + by )
vecteur-soustraction.png

Le produit de F et L peut être vu comme le produit de la norme de F par la projection de la norme de L sur lui ou inversement : F * L = || F|| * || L|| * cos θ :

vecteur-produit.png

Enigme. Pourquoi a-t-on choisi ici de nommer les deux vecteurs par les lettres F et L ? Réponse infra dans l'équation n_W=F*x(t).

Forme trigonométrique (géométrique) :
F * L = F * L * cos θ    
N.B. Le produit de deux vecteurs n'est donc pas un vecteur mais un nombre ! C'est pourquoi ce produit est dit "scalaire".
F * L = F * L * cos ( φ - λ )
⇒ par n_cos(a-b) : cos(φ-λ) = cos φ * cos λ + sin φ * sin λ :
F * L = F * cos φ * L * cos φ + F * sin φ * L * sin λ    ⇔
par n_sin(a)=y/R et par n_cos(a)=x/R :
Forme algébrique :
F * L = Fx * Lx + Fy * Ly = (Fx, Fy) * (Lx, Ly)

Ces deux formes pourront être utilisées complémentairement pour résoudre certains problèmes. On peut ainsi démontrer le théorème de Pythagore à partir du produit d'un vecteur par lui même :
forme trigonométrique : a * a = ... = ||a||2
forme algébrique : a * a = ... = ax2 + ay2
⇒ ||a||2 = √(ax2 + ay2)

On peut alors démontrer facilement les propriétés du produit scalaire :

  • commutatif : oui;
  • distributif : oui;
    a * ( b + c ) = ax * (bx + cx) + ay * (by + cy) = ...
  • associatif = non car le produit de trois vecteurs ne fait pas sens puisque le produit de deux vecteurs est un nombre.
  • pour la même raison (le produit de deux vecteurs est un nombre) on ne peut jamais diviser par un vecteur : ni un nombre ni un scalaire.
  • le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires vaut zéro (démonstration à partir de forme géométrique puisqu'il est question d'angles).

Géométrie

https://jortay.net/savoir-de-base#geometrie

On va commencer par développer l'expression de la droite dans le plan sous deux formes – paramétrique et vectorielle – selon le type de contrainte imposée au vecteur courant r, qui "dessine" la droite passant par le point de vecteur p.

droite.png

Le lecteur peut ignorer momentanément la partie supérieure gauche du référentiel.

Dans la forme paramétrique
r = p + λ * v
la contrainte est fondée sur un vecteur directeur v (parallèle à la droite) et un paramètre λ;
⇒ exprimée en fonction de ses composantes :
x = py + λ * vy
y = px + λ * vx

⇒ en substituant λ entre les deux ont pourra exprimer y en fonction de x, ce que constitue la forme cartésienne de la droite :
y = vy / vx * x + py - vy / vx * px
mais cela n'est pas l'expression générale de la forme cartésienne de la droite car elle ne permet pas d'exprimer la droite verticale (car vx=0 au dénominateur) ⇒ pour cela on multiplie les deux membres par vx puis on écrit enfin l'équation sous sa forme générale :
- vy * x + vx * y = - vy * px + vx * py
NB : de type a * x + b * y = c

droite.png

Le lecteur peut ignorer momentanément la partie supérieure gauche du référentiel.

que l'on peut écrire également sous sa forme vectorielle, en exploitant le produit scalaire, en l'occurrence en imposant la condition :
n * r = n * p
c-à-d que p et r on la même projection sur n
dont la contrainte est fondée sur le vecteur normal n (perpendiculaire à la droite) de coordonnées (a,b)
⇒ par n_F*L=Fx*Lx+Fy*Ly :
a * x + b * y = a * px + b * py
que l'on comparera à n_-vy*x+vx*y=-vy*py+vx*py et au graphique (copie du précédent) pour aboutir à une interprétation géométrique (sans doute plus intuitive) de la forme cartésienne de l'équation de la droite.

Produit vectoriel

https://jortay.net/savoir-de-base#produit-vectoriel
moment-de-force.png

La composante longitudinale n'intervient pas dans la force de torsion → c'est F*sin(θ) que le moment τ rapporte à r.

Soit un levier (en l'occurrence une clé) par rapport auquel est défini le moment de force (en l'occurrence un moment de torsion) τ = r * F * sin(θ)
r est la longueur du bras de levier, et F la force exercée sur ce bras.
Le moment de force exprime tout simplement la proportionnalité entre la force F*sin(θ) et le la longueur du levier : si je double celle-ci, je peux diminuer de moitié la force exercée sur lui (pour arriver au même résultat).

La règle de la main droite permet de déterminer dans quel sens la force est exercée (visser vs dévisser) : placer le pousse dans la direction de la visse (peu importe le sens pour autant que les doigts soient dirigés vers le point d'application de la force) ⇒ les doigt se plient dans la direction de la force correspondant à son sens déterminé par celui du pouce (ainsi dans le graphique ci-contre on visse en appuyant vers le bas) ;

produit-vectoriel.png

Sous forme vectorielle (et en considérant des vecteurs quelconques à origine commune) :
c = a x b = || a|| * || b|| * sin(θ) * 1
Le produit vectoriel se lit « a croix b ».
où :
1 converti le nombre || a|| * || b|| * sin(θ) en vecteur;
indique que le signe de 1 est déterminé par la règle de la main droite.

Propriétés :

  • commutatif : non, en raison de la règle de la main droite (NB : a x b peut se lire « produit scalaire de a vers b ») :
    a x b = - a x b
    en l'occurrence il s'agit donc d'anticommutativité
    a x a = 0 par n_||a→||*||b→||*sin(θ)*1→⊥ où θ=0.
  • associatif : non, ce que l'on démontre facilement à partir de ( a x a ) x b
  • distributif : oui.
produit-vectoriel-calcul.png

Règle de calcul. Grâce aux propriétés n_a→xa→=0 et de distributivité on va développer une règle de calcul du produit vectoriel. Une condition est que le référentiel orthonormé soit dextrogyre c-à-d tel que x x y = z ⇔ règle de la main droite : quand on ferme les doigts de la main de x vers y la direction indiquée par le pouce doit être celle de z ⇔ :

1x x 1y = 1z
1y x 1z = 1x
1z x 1x = 1y

Dès lors :
a x b = ( ax * 1x + ay * 1y + az * 1z ) x ( bx * 1x + by * 1y + bz * 1z )

Pour simplifier le calcul de cette distribution on va utiliser le déterminant de a x b :

a x b =  
1x 1y 1z
ax ay az
bx by bz


a x b = ( ay * bz - az * by ) * 1x - ( ax * bz - az * bx ) * 1y ( ax * by - ay * bx ) * 1z
NB : pour le croisement L1-C2 il faut multiplier 1y par -1

produit-vectoriel-interpretation.png

Interprétation géométrique. Le graphique ci-contre reprend celui illustrant c = a x b = || a|| * || b|| * sin(θ) * 1 n_||a→||*||b→||*sin(θ)*1→⊥, mais cette fois vu du haut. Il apparaît alors que le produit vectoriel correspond à la surface du parallélogramme construit sur les vecteurs a et b : a x b = Sab * 1Sab est donc le module du produit.

produit-mixte.png

Ensuite on introduit un troisième vecteur c dont on va faire le produit scalaire avec le produit vectoriel a x b ⇒ on obtient le produit mixte "a croix b fois c" :
( a x b ) * c = Sab * 1 * c = Sab * c * cos(φ) = Sab * h
qui est le volume du parallélépipède quelconque (non rectangle) du graphique ci-joint, dont la valeur se calcule à partir de n_prod-scal-det : ( a x b ) * c =

1x 1y 1z
ax ay az
bx by bz
* c =
cx cy cz
ax ay az
bx by bz

On démontre cette égalité en remplaçant le déterminant du premier membre par un vecteur quelconque u et en montrant que pour obtenir le produit scalaire de celui-ci avec c il suffit de remplacer les coordonnée de 1 par celles de c :

ux * cx + uy * cy + uz * cz
=
ux * 1x + uy * 1y + uz * 1z
*
cx * 1x + cy * 1y + cz * 1z
CQFD

( a x b ) * c = cx * ( ay * bz - az * by ) - cy * ( az * bx - ax * bz ) + cz * ( ax * by - ay * bx )

Cinématique

https://jortay.net/savoir-de-base#cinematique

Mouvement rectiligne uniforme (MRU) :

La vitesse v est la distance xt - x0 parcourue durant le temps t :

v = ( xt - x0 ) / t   ⇔  xt = x0 + v * t    ⇒
xt - x0 est la surface en dessous de la droite vt = v0

MRU.png

Mouvement rectiligne uniforme accéléré (MRUA) :

L'accélération a est la vitesse vt - v0 acquise durant le temps t :

a = ( vt - v0 ) / t   ⇔   vt = v0 + a * t
(NB : équation du 1° degré en t)    ⇒
xt - x0 est la surface en dessous de la droite vt = v0 + a * t    ⇒
xt - x0 = v0 * t + a * t2 / 2    ⇔
xt = x0 + v0 * t + a * t2 / 2
(NB : équation du 2° degré en t)    ⇔
xt = x0 + ( v0 + vt ) / 2 * t

MRUA.png
  • On retrouve le MRU en posant a=0.
  • ∫ v(t) * dt = x(t)dx(t) / dt = v(t)

L'analyse ci-dessus (cinématique) fait abstraction des masses qui caractérisent les corps, ainsi que les éventuelles forces qu'ils peuvent subir ou exercer en relation avec d'autres corps (cinétique).

Force et mouvement

https://jortay.net/savoir-de-base#force-mouvement

Le principe de relativité postule l'équivalence entre MRU et repos. Il est donc très proche du principe d'inertie, qui postule qu'il n'est pas besoin de subir une force pour être en mouvement.

Ces deux principes reposent sur la notion de référentiel inertiel qui permet notamment de montrer que accélération vs décélération sont relatifs comme le sont MRU vs repos.

Loi de Newton. Exercer une force F c'est imprimer une accélération a au déplacement d'une masse M :

F = m * a

Vidéos clipedia :
7.1. Principe de relativité
7.2. Principe d'inertie
7.3. Galilée
7.4. Loi de Newton

Force et pression

https://jortay.net/savoir-de-base#force-pression

Pression = Force / Surface

Les vidéos de cette section sont essentiellement des applications des sections précédentes. Au niveau théorique le seul ajout notable est celui de la pression.

Force et énergie

https://jortay.net/savoir-de-base#force-energie

Réaliser un travail W c'est exercer, durant un temps t, une force F sur une distance x :

W = F * x(t)
où l'on substitue F = M * a n_F=m*a     ⇒
W = M * a * x(t)
où l'on substitue
a = v(t) / t n_a=v(t)/t
x(t) = v(t) * t / 2 n_xt=x0+(v0+vt)/2*t

W = M * v(t) / t * v(t) * t / 2     ⇔
W = M * v(t)2 / 2     ⇒

Lorsque le travail s'arrête l'énergie dans laquelle il s'est transformé (principe de conservation) a atteint un niveau maximum ⇒ la vitesse devient constante : on est donc revenu au MRU, celui des planètes qui dans le vide ne sont pas soumises à des forces de frottement :

Ec = M * v2 / 2

Gaz parfaits

https://jortay.net/savoir-de-base#gaz-parfait

La loi des gaz parfaits constitue la base de la thermodynamique. Au 19° siècle on avait découvert expérimentalement la loi des gaz parfaits :
P * V = N * kB * T
: à température constante si l'on diminue le volume alors la pression augmente. Afin de comprendre les mécanismes physiques de cette loi il faut prendre en compte la nature atomique (c-à-d non continue) de la matière.

piston.png

Étape 1

On étudie d'abord le cas simplifié d'un volume de gaz contenu dans un piston librement coulissant, et composé d'une seule particule en mouvement vertical d'allers-retours, et dont on connaît la masse et la vitesse. On veut alors identifier les conditions d'équilibre volumique de ce gaz, c-à-d telles que la force d'impact moyenne f̄ de cette particule contre le piston est égale au poids M * g de celui-ci. f̄ est donc une force imaginaire continue qui porte le piston comme si celui-ci reposait sur un socle (portage statique &asymp. portage dynamique) :
f̄ = M * g (troisième loi de Newton ou principe "d'action-réaction" : toutes les forces apparaissent par couple de forces opposées).
Vu que g est connu il reste à déterminer M.
Pour ce faire on recourt au principe selon lequel l'équilibre est caractérisé par la conservation des quantités de mouvement du piston (M*V) et du volume de gaz (m*v) :
M * V = m * v
M = m * v / V   ⇒ il reste à déterminer V.
Or, soit x la position verticale du piston, on peut considérer que l'équilibre est caractérisé par xt=0 dans
x = ( V * T ) - g / 2 * T2 n_xt=x0+v0*t V est la vitesse initiale du piston et T le temps mis par la particule pour faire un aller-retour     ⇔
V = g * T / 2  ⇒ il reste à déterminer T.
Or soit L la hauteur du volume de gaz :
v = 2 * L / T  ⇔  T = 2 * L / v   ⇒   substit. dans V :
V = g * L / v  ⇒  substit. dans M :
M = m * v2 / g / L  ⇔  M * g = m * v2 / L     ⇔
f̄ = m * v2 / L
f̄ est ainsi déterminé puisque l'on connaît m, v et L. En outre on s'est affranchi de g dans son expression. On est alors en mesure de faire le lien avec la loi expérimentale grâce à Ec = m * v2 / 2 n_Ec=M*v2/2 que l'on substitue dans n_f=m*v2/L    ⇒
f̄ * L = 2 * Ec     ⇒
Soit S la surface supérieure du cylindre :
( f̄ / S ) * ( L * S ) = 2 * Ec     ⇔
P * V = 2 * Ec qu'en comparant avec
P * V = N * kB * T on pourrait qualifier de "loi des gaz parfaits à une particule". Il nous reste donc à généraliser au cas de N particules.

Étape 2

On va maintenant étendre l'analyse au cas de N particules de vitesse d'angles quelconques. Nous raisonnons alors dans le cadre d'un gaz à l'équilibre tel que la force d'impact moyenne f̄ de ses particules contre chacune de ses parois est égale à la force de réaction exercée par celles-ci.

Pour ce faire on va considérer que le gaz est parfait c-à-d que ses particules n'interagissent pas, ce qui requiert :

  • de les considérer comme de simples "masses ponctuelles" c-à-d de volume nul, de sorte que leur taille étant sans commune mesure avec la distance caractéristique qui les sépare elles ne se rencontrent jamais (il n'y a donc pas d'interactions entre elles) ; on dit alors que le gaz qu'elles forment est "dilué" c-à-d que sa pression est faible ;
  • que sa température ne soit pas trop basse, sans quoi il y aura des agrégats de particules c-à-d des interactions entre elles (et il ne s'agit alors plus d'un gaz parfait).

La particule étant ponctuelle on peut considérer sa vitesse non plus comme un scalaire mais comme un vecteur, ce qui permet de considérer des vitesses d'angles quelconques.
ft = m * dv/dt    ⇔
ft = m * (dvx/dt * 1x + dvy/dt * 1y + dvz/dt * 1z)    ⇒
Mais comme d'autre part on suppose l'absence de frottement avec les parois ainsi que dans le volume, il n'y a que la composante en x de la vitesse (vx) qui change (lors du contact avec la paroi) :
ft = m * dvx/dt * 1x   ⇔
ft, force d'impact moyenne d'une particule d'inclinaison quelconque, est orientée perpendiculairement à la paroi qui subit le choc.

Dans l'étape théorique suivante les forces d'impact exercées par les N particules sur la paroi sont sommées en une force unique :
F = ∑ f̄n ⇒ par n_f=m*v2/L :
F = ∑ m * v2nx / L    ⇔
F = N * m / L * ∑ vnx2 / N    ⇔
F = N * m / L * < vx2 >
où < vx2 > est la moyenne "d'ensemble" (tandis que f̄ est une moyenne "temporelle") des vitesses en x.

Ensuite en raison de la distribution isotrope des vitesses (aucune des directions donc aucune des composantes de la vitesse n'est privilégiée puisqu'on se situe dans le vide) on a que le module
< v2 > = 3 * < vx2 >     ⇒
F = N * m / L * < v2 > / 3     ⇔ (en divisant par la surface S de la paroi supérieure)
P = N * m / V * < v2 > / 3     ⇔
P V = N * m * < v2 > / 3     ⇒
si l'on compare avec l'égalité expérimentale
P * V = N * kB * T
on en déduit que
m * < v2 > / 3 = kB * T    ⇒
2 * < m *v2 / 2 > / 3 = kB * T
Or Ec = m * v2 / 2 n_Ec=M*v2/2    ⇒
T = 2/3 * < Ec > / kB
où < Ec > est l'énergie cinétique moyenne par particule de gaz.

On comprend alors physiquement ce qu'est la température. On comprend en particulier pourquoi la température la plus basse qui puisse exister – le zéro absolu – est celle d'un gaz parfait dont l'énergie cinétique est nulle, niveau le plus bas que l'énergie cinétique puisse atteindre. On comprend également qu'en apportant de la chaleur à un gaz on augmente son énergie cinétique.

Atomes

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Principes

Un atome est une particule élémentaire de matière. On a recensé à ce jour 116 types d'atomes ("éléments"). Ils sont classés dans le tableau des éléments (cf. infra). On les représente physiquement sous forme d'une sphère (modèle atomique).

Nous verrons plus loin la différence entre "atome" et "élément" au travers de la notion d'atome isotope.

La taille des atomes varie de 0,25 à 3 Å (un ångström vaut cent picomètres et 1 pm = 10 -12 m) selon le type de matière (hydrogène, carbone, etc). Ainsi la taille d'un atome par rapport à un pamplemousse est du même ordre de grandeur que la taille d'une sphère de 1cm de diamètre par rapport à la Terre.

Les atomes ne se distinguent pas que par leur taille, mais aussi (et surtout) par leur structure.

Dans le modèle atomique l'atome est composé de particules (dites "subatomiques") :

  • un noyau, composé de deux types de "nucléons" :
    • protons :
      • charge électrique individuelle positive (1,602.10 -19 C = charge +1);

        Le coulomb est la charge électrique (la quantité d'électricité) traversant une section d'un conducteur parcouru par un courant d'intensité de un ampère pendant une seconde (1 C = 1 A*s).

      • masse individuelle = 1,673.10 -27 kg.
    • neutrons
      • sans charge électrique;
      • masse individuelle = 1,675.10 -27 kg.
  • d'un nuage entourant le noyau et composé d'électrons, qui sont des particules :
    • chargées négativement (charge -1);
    • de masse individuelle = 9,109.10 -31 kg soit 1838 fois moins lourde qu'un nucléon de sorte qu'elle est souvent ignorée dans les calculs des chimistes (et comme les électrons sont environ deux fois moins nombreux que les nucléons il en résulte que le noyau est environ 4.000 fois plus lourd que son nuage).

Quel que soit le type d'atome, les protons ont donc la même masse, de même que les neutrons.

Comme d'autre part la masse d'un proton est très proche de celle d'un neutron, on a simplifié la mesure en posant que la masse d'un nucléon (proton ou neutron) vaut une "unité de masse atomique" (u ou u.m.a.). Pour déterminer la valeur de cette u.m.a. on a choisi comme référentiel l'atome isotope 12C. Comme celui-ci comporte 12 nucléons on a donc que l'u.m.a. vaut un douzième de la masse de 12C soit 1,66 * 10 -27 kg :
1 u.m.a. = m12C / 12 = 1,66 * 10 -27 kg

Le tableau suivant résume ces propriétés des particules subatomiques.

Propriétés des particules subatomiques

ChargeMasse
p ++11
n 001
e --1négligeable

On notera que la masse d'un atome est donc concentrée dans le noyau (99,97%), tandis que sa charge est répartie, entre protons du noyau et nuage électronique. La concentration de masse est encore plus impressionnante lorsque l'on se rend compte que le rapport entre la taille du noyau et celle de l'atome est équivalent à celui entre la tête d'une fourmi et un terrain de football.

Mais ce qui caractérise essentiellement un élément c'est le nombre de protons qu'il contient (NB : c'est un nombre entier), appelé numéro atomique (l'élément X de numéro atomique Z étant noté ZX). NB : la matière est généralement neutre c-à-d que la charge électrique d'un atome est nulle ⇒ Z indique donc également le nombre d'électrons.

Quant au nombre de nucléons (protons et neutrons) on l'appelle nombre de masse (noté A) ⇔ la masse d'un atome (masse atomique) vaut A u.m.a. (ainsi le rapport masse atomique / nombre de masse vaut exactement 1 pour 12C et est très proche de 1 pour tous les autres atomes).

Tableau
périodique

Dans chaque case du tableau des éléments (cf. ci-dessous) le chiffre situé au-dessus du symbole de l'élément est son numéro atomique tandis que le nombre situé en dessous du symbole est la masse atomique. Le tableau "périodique" se lit dans l'ordre des numéros atomiques de gauche à droite. Les "périodes" sont les lignes, tandis qu'à chaque colonne est attribué un numéro de groupe (ainsi par exemple les éléments du groupe IA réagissent de façon assez semblable aux élément du groupe IB). Les dix familles d'éléments sont ainsi regroupées par couleurs.

tableau-periodique.png

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L'atome d'hydrogène est le premier élément du tableau périodique (cf. infra) : c'est l'atome le plus petit, simple et léger : il est composé d'un seul proton, d'un seul électron et ne possède pas de neutron.

Description succincte des familles d'éléments :

  1. métaux alcalins (Li, Na, K, Rb, Cs, Fr) : réagissent fortement avec l'oxygène de l'air et de l'eau;
  2. halogènes (F, Cl, Br, I) : gaz diatomiques, et toxiques car il réagissent fortement (avec notamment les métaux alcalins);
  3. alcalino-terreux (Be, Mg, Ca, Sr, Ba, Ra) : il font les mêmes types de composés que les alcalins mais avec des taux de combinaison doubles;
  4. métaux de transition (Ti, Cr, Fe, Ni, Cu, Zn, Ag, Pt (catalyseur), Cd, Au, ...) : solides, conducteurs, ductiles, à haute température de fusion/ébullition, combinables entre eux (alliages), composables avec les non-métaux (oxydes, chlorures, sulfates, ...) en proportions diverses (exemple d'oxydes de fer : FeO, Fe2O3, F3O4) ;
  5. gaz nobles ou rares, inertes (He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn) : monoatomiques, très peu réactifs (ce qui en fait de bon gaz parfaits) --> ils forment peu de composés (d'où leur nom de inertes ou nobles);
  6. non métaux (C, H, O, N, P, S) : jouent un rôle déterminant dans le métabolisme des organismes vivants, légers (faible masse atomique), combinables (acides aminés – Ala, Tyr, ... – constituant les protéines, molécules de phospholipides constituant les membranes cellulaires, molécules d'ADN, ...);
  7. métalloïdes (B, Si, Ge, As, Sb, Te, At) : moins bons conducteurs que les métaux (⇒ utilisés pour fabriquer des semi-conducteurs, transistors et circuits intégrés);
  8. métaux pauvres (Al, Ga, Sn, Pb, ...);
  9. lanthanides ou "terres rares" (La, Pr, Nd, ...);
  10. actinides (U, Pu, Md, ...) : les plus lourds, matières premières des centrales nucléaires.

Les éléments récemment découverts sont les plus lourds : ils contiennent le plus grand nombre de protons. Découvrir de nouveaux éléments requiert de plus en plus d'énergie ⇒ au fur et à mesure que nous pourrons mobiliser de plus grandes quantités d'énergie grâce au progrès technologique découvrirons-nous sans fin de nouveaux éléments ?

Vidéos clipedia :
11.1. Atomes
11.2. Tableau périodique

Réaction chimique, mole

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Il est théoriquement possible de transmuter la matière, par exemple le plomb (82Pb) en or (79Au) : pour cela il suffit d'enlever 82-79=3 protons à chaque atome de plomb. Cependant cela requiert tellement d'énergie que dans l'état actuel des technologies la transmutation est plus coûteuse que l'extraction. Cette anecdote est l'occasion de préciser que dès qu'on entre dans l'ingénierie nucléaire on sort du domaine de la chime pour entrer dans celui de la physique nucléaire. Le champs d'action de la chimie se situe plutôt au niveau du nuage électronique : une réaction chimique consiste en l'échange d'électrons entre atomes.

Une réaction chimique est un phénomène de transformation de la matière, que l'on observe dans certains cas lorsque l'on mélange des substances. Les composants se transforment ainsi en un ou plusieurs composants d'une autre nature (c-à-d avec des propriétés physico-chimiques différentes), cela tout en conservant la quantité de matière (cf. premier et second principes de la thermodynamique). Les réactions chimiques se distinguent notamment par leur intensité (on utilise parfois le terme de "violence") : ainsi par exemple lorsque l'on jette un morceau de sodium dans un récipient contenant de l'eau, le morceau de sodium se met à bouger en dégageant de la fumée, puis il brûle et enfin explose.

Autres exemples. Les organismes vivants sont le lieu de nombreuses et permanentes réactions chimiques, qui déterminent le métabolisme de ces organismes. Par exemple lorsque qu'un organisme se nourrit d'aliments ceux-ci réagissent avec l'oxygène de l'air et produisent ainsi de l'énergie (cf. respiration). Les réactions chimiques sont utilisée abondamment dans l'industrie, notamment pour produire des métaux à partir de minerais, ou des polymères (matières plastiques telles que le nylon). Les réactions chimiques sont également utilisée dans les stations d'épuration. Elles se produisent aussi à chaque fois que nous cuisinons.

Revenons à la réaction de la vidéo, et écrivons son équation chimique :

Réactifs --> Produits
Na + H2O --> NaOH + H2

On constate que l'atome de Na prend la place d'un des deux atomes de H, qui est éjecté, ce qui produit une molécule d'hydroxyde de sodium et une molécule de dihydrogène (gaz). Cependant l'équation ci-dessus n'est pas correcte car le principe de conservation n'est pas respecté : on a plus d'atomes de H en produits qu'en réactifs ⇒ il faut diviser la molécule de dioxygène par 2 :

Na + H2O --> NaOH + 1/2 * H2

mais comme dans la réalité il n'existe pas de "demi-molécule" il faut alors multiplier les deux membres par 2 afin d'équilibrer correctement l'équation :

2Na + 2H2O --> 2NaOH + H2

reaction-chimique.jpg
Mole

Les nombres situés à gauche des réactifs et produits sont appelés "coefficients stœchiométriques". Ils permettent de faire de la chimie quantitative. Celle-ci repose sur la notion de mole.

Pour définir la mole revenons à la notion de masse atomique. Nous avons vu que la masse d'un atome est représentée à plus de 99% par celle du noyau. Par conséquent la masse d'un atome vaut approximativement le produit du nombre de nucléons (Nu) par la masse d'un nucléon (mu) : matome ≈ mnoyau = Nu * mu.

Or il y a trois siècle le physicien et chimiste turinois Avogadro montra que 1g de n'importe quelle matière (par exemple le volume d'eau d'un dé à coudre) contient un nombre gigantesque de nucléons : 602.000 milliards de milliards ! C'est le nombre d'Avogadro :
NA = 6,022 * 1023.

Si un nucléon avait la taille d'une bille de 1cm de diamètre, NA nucléons rempliraient un cube dont l'arrête ferait 850km c-à-d que chaque face de ce cube aurait approximativement la taille de la France (PS : l'atmosphère s'arrête à environ 100km d'altitude ...).

Par définition une mole c'est NA nucléons, donc par n_avogadro une mole de nucléons pèse 1g, ou encore 1g de n'importe quelle matière contient 1 mole de nucléons : NA * mu = 1g.

On a bien que mu = 1g / NA = 1 / 6,022 * 10-23 = 1,66 * 10 -27 kg = 1 u.m.a. ⇔ mu ≡ u.m.a. n_u.m.a.

Que pèse une mole d'atome de carbone (par exemple) ?
Sachant que Nu*mu appliquée au carbone donne :
mC = 12 * mu
⇒ en substituant mu dans n_mole :
NA * mC = 12g

Ce raisonnement peut être appliqué à n'importe quel atome, en consultant le #tableau-periodique : soit un élément X de numéro atomique A, on défini sa masse molaire par :
NA * mX

Plus généralement ce raisonnement peut être appliqué à n'importe quel entité (atome, molécule, ...). Illustrons cela à partir de notre équation supra :

- NA * mNa = 23g : une mole de Na pèse environ 23g;
- NA * mH2O = 18g : une mole de H2O pèse 2*1+16=18g
- NA * mNaOH = 40g : une mole de NaOH pèse 23+16+1=40g
- NA * mH2 = 2g : une mole de H2 pèse 2*1=2g

On peut associer coefficients stœchiométriques et nombre de moles d'une réaction :

2Na+2H2O-->2NaOH+H2
2 moles+2 moles-->2 moles+1 mole

de sorte qu'à partir de n'importe quelle quantité de Na (par exemple 46g) on peut alors déterminer celles des autres réactifs et produits correspondant à l'équation.

2Na+2H2O-->2NaOH+H2
2 moles+2 moles-->2 moles+1 mole
46g+36g-->80g+2g

On peut également déduire que :
18g de H2O contient 1 mole de molécules de H2O
1g de H2O contient 1/18 mole = 0,055 mole de molécules de H2O

Énergie
d'activation

Dans cette réaction ce n'est pas le sodium "qui a brûlé" (cf. vidéo) : la réaction produit du dihydrogène H2 qui réagit à son tour avec l'oxygène de l'atmosphère (combustion) :

2H2+O2-->2H2O

electrolyse-eau.png

Électrolyse de l'eau

La réaction ci-dessus peut être inversée, mais pour cela il faudra mobiliser de l'énergie : c'est l'électrolyse de l'eau, qui permet de produire du H2 et du O2.

2H2O (+ énergie)-->2H2+O2

Le schéma ci-contre montre que le volume de gaz produit dans la colonne de droite est le double de celui de la colonne de gauche, ce qui correspond bien au rapport des coefficients stoechométriques du membre de droite : la réaction produit deux fois plus de molécules de H2 que de O2.

Il ne suffit donc pas toujours de mélanger des réactifs pour que la réaction se déclenche. Un apport d'énergie (électricité dans l'eau, flamme dans l'air, ...) peut être nécessaire : c'est l'énergie d'activation.

Dans une molécule chaque liaison entre atomes se fait par mise en commun d'un électron. Chaque liaison, ou plus exactement chaque électron de la liaison peut-être vu comme détenteur d'une sorte d'énergie potentielle. La réaction de combustion correspond à une émission d'énergie (thermique et mécanique), de sorte que le produit d'une réaction exothermique correspond à un état énergétique inférieur à celui des réactifs, en vertu du principe de conservation.

Le graphique ci-dessous représente l'évolution du bilan énergétique d'une réaction. On voit que le pic correspondant à l'énergie d'activation peut-être abaissé, grâce à un catalyseur. Par exemple en ajoutant de la mousse de platine aux réactifs H2 et O2 on pourra déclencher la réaction avec seulement une échauffement plutôt qu'une explosion (la réaction est donc plus lente).

effet-catalytique.png

La vitesse de réaction joue également un rôle. Dans une explosion elle est quasiment immédiate tandis que dans d'autres phénomènes elle est beaucoup plus lente (par exemple la rouille sur un métal).

Dynamique

Mais quel est le mécanisme d'une réaction chimique ? La dynamique du modèle atomique n'est pas immobile : les électrons tournent autour du noyau. Mais contrairement à la dynamique astronomique ces mouvements semblent chaotiques (aléatoires) de sorte qu'on ne parle pas d'orbite mais de probabilité de présence.

Une réaction chimique consiste dans la mise en commun d'électrons, ce qui requiert des chocs entre les atomes des réactifs (dans le cas de la dernière équation supra il faut que trois molécules se rencontrent : deux de H2 et une de O2). Or la probabilité de ces chocs diminue avec le nombre d'atome par unité volumique (concentration, pression) ainsi qu'avec l'agitation de ces atomes (liée à, et donc mesurée par la température). D'autre part on pourrait penser qu'une réaction chimique requiert également un positionnement ad hoc des atomes, ainsi qu'une mobilisation efficace de l'énergie nécessaire. Mais comme tout cela cela est statistiquement peu probable de se produire simultanément il faut donc trouver une autre explication. C'est ce qu'ont fait les prix Nobel de chimie 1956 Hinshelwood & Semenov. Dans leur théorie les molécules sont d'abord cassées en leur "radicaux libres" qui, ayant un nombre impair et donc un électron "isolé", vont réagir fortement avec les autres réactifs (avec nouvelles productions de radicaux), provoquant de complexes réactions en chaînes ⇒ l'explosion de la vidéo.

On peut ainsi distinguer :

  • thermodynamique chimique ⇔ notion d'énergie ⇔ dans quel sens se produit la réaction ?
  • cinétique chimique ⇔ notion de vitesse de réaction ⇔ pas de réaction < réaction modérée < explosion.
n_check

Infos


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