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Savoir de base

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Màj : 1 juil. 2020   –   # pages : 10 [?]

Introduction

https://jortay.net/savoir-de-base#intro
savoir-de-base.png

La philosophie et la science traitent du savoir : la première s'intéresse au savoir pourquoi, la seconde au savoir comment.

Cependant la frontière entre ces deux approches n'est pas nette, il y des incursions, par le biais de différentes formes de langages. La linguistique semble plus adaptée à la philosophie (quoique ...) tandis que les scientifiques préfèrent souvent (mais pas toujours) les mathématiques et l'informatique.

Le schéma suivant propose une synthèse de la relation historique et logique entre ces notions.

Le présent article est une tentative (en cours) de synthétiser les bases du savoir scientifique, par le biais du concept de noyau informationnel. Un noyau informationnel est la synthèse la plus petite en nombre de kilobits que l'on puisse faire d'une thématique. Il contient l'information minimale permettant de déduire tout le reste de la thématique. On peut faire un lien avec l'antisèche, le noyau d'un fruit, le noyau cellulaire ou encore le noyau de système d'exploitation.

L'étude d'un phénomène et l'apprentissage d'une matière consistent à en isoler le noyau informationnel. Pour ce faire il faut comprendre la logique du phénomène ou de la thématique.

Chaque section de ce document présente le noyau informationnel d'une thématique. Leur contenu a été réalisé à partir des exceptionnelles vidéos de clipedia.be, réalisées par des professeurs et chercheurs de l'Université libre de Bruxelles. Chaque section peut être vue comme un résumé – écrit et illustré – d'une ou plusieurs vidéos. Une autre plus-value du présent document par rapport au site clipedia.be est la double numérotation :

  • thématiques : numérotation des sections, reflétant le développement scientifique historique et logique (mathématique et physique précédant chimie et biologie);
  • équations : numérotation des équations "clés" ≡ le fil rouge de ce développement :
    • numérotation rouge : première apparition de l'équation ⇒ présentée avec sa démonstration;
    • numérotation noire : renvois, à partir de démonstrations, vers des équations utilisées dans celles-ci.
Défi

J'ai développé pour ce faire ma propre technologie (en JavaScript et PHP) de numérotation adaptative des sommaires, sections et références intra-documentaires. Je suis ainsi outillé pour réaliser ce qui est loin d'être évident : est-il possible et rationnel de numéroter logiquement un fil rouge du développement scientifique ? La réponse n'est pas évidente, notamment parce que (i) ce développement est fait de concomitances ; (ii) d'autre part de nombreux faits expérimentaux n'ont été démontrés mathématiquement qu'ultérieurement (et inversement) grâce à d'autres progrès qui par rapport à ces faits expérimentaux (ou théoriques) furent subséquents et connexes. Il n'est donc pas évident de délier cet écheveau d'intrications spatio-temporelles en un "fil rouge". Cependant les premières sections de ce document suscitent l'optimisme ...

Si vous préparez l'examen d'entrée en faculté de médecine ou en école polytechnique, ce document est fait pour vous ! N.B. : ce document, encore très incomplet, est une publication en édition continue (PEC) créée récemment (juin 2020) : pour être informé.e de l'ajout des nouvelles sections à venir abonnez-vous à mon compte Twitter ou à ma page Facebook.

Trigonométrie

https://jortay.net/savoir-de-base#trigonometrie
radian.png

Exprimer l'angle a en radians c'est l'exprimer par rapport à une unité correspondant à une longueur d'arc égale au rayon R. Pour trouver la valeur de 1 radian en degrés on procède donc par règle de trois :

RADARCDEG
1R?
π / 2 / Rπ/290
190 * 2 * R / π
1R=1180 / π ≈ 180 / 3,1416 = 57,3

Un intérêt du radian, en liant toute grandeur d'angle à une longueur d'arc correspondante (pour un R déterminé *), est de faciliter la mesure des angles : on mesure la longueur de l'arc ⇒ on en déduit la taille de l'angle en degrés (alors que pour mesurer directement en degré il faut utiliser un rapporteur).

(*) Mais dans le cercle trigonométrique on suppose toujours R=1

somme-angles-triangle.png

La somme des angles d'un triangle quelconque vaut 180° ou π rad.
C'est un résultat que l'on peut deviner intuitivement en réalisant que 180° c'est la moitié d'un cercle. Historiquement la première démonstration (ci-contre) fut probablement visuelle (géométrique). Elle confirme, par translation du triangle, cette intuition de développement des trois côtés en une ligne droite.

trigonometrie.png

Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle :
R2 = x2 + y2 .


Historiquement la première démonstration fut probablement visuelle (géométrique) :

  1. la rotation de l'hypoténuse R correspondant aux surfaces x2 et y2 génère la surface R2;
  2. la surface R2 pivote autour du même point pour inscrire son côté supérieur dans la surface y2;
  3. les trois surfaces à l'extérieur de R2 remplissent exactement les deux surfaces vides à l'intérieur de R2 ⇔ la surface R2 égale la somme des surface x2 et y2. CQFD.
pythagore.png

Nous en verrons une démonstration mathématique dans la section consacrée aux vecteurs (produit scalaire).

sin-cos.png

Définition (⇒ ne se démontre pas) : dans un triangle rectangle le sinus d'un angle est le rapport entre son côté opposé et l'hypoténuse :
sin(a) = y / R
y = R * sin(a) : y est la projection de R par sin(a)
R = y / sin(a) : R est la projection de y par 1/sin(a)

Définition : dans un triangle rectangle le cosinus d'un angle est le rapport entre son côté adjacent (c-à-d celui qui le relie à l'angle droit) et l'hypoténuse :
cos(a) = x / R
x = R * cos(a) : x est la projection de R par cos(a)
R = x / cos(a) : R est la projection de x par 1/cos(a)

Par n_sin(a)=y/R et n_cos(a)=x/R :
cos(a) = sin (b)

Par n_cos(a)=sin(b) et n_somme-angles-triangle :
cos(a) = sin (90-a)

Loi de projection. On peut alors généraliser en disant que :

  • tout côté adjacent de l'hypoténuse est la projection de celle-ci par le cosinus de l'angle qu'il forme avec elle, ou par le sinus de l'angle opposé ;
  • l'hypoténuse est la projection de chacun des autres côtés par l'inverse du cosinus de l'angle qu'il forme avec lui , ou par l'inverse du sinus de l'angle opposé.
loi-sinus.png

Loi des sinus : dans un triangle quelconque le rapport entre le sinus d'un angle et son côté opposé est identique pour les trois angles ⇒
sin(α) / a = sin(β) / b = sin(γ) / c .
Démonstration par n_projection1 :
H = c * sin(β) = b * sin(γ) ⇔
H = c / sin(γ) = b / sin(β) ⇒
même principe en prenant un autre côté commé référentiel ⇒ CQFD.

Par n_sin(a)=y/R et n_cos(a)=x/R substitués dans n_pythagore :
sin2(a) + cos2(a) = 1

tangente.png

Définition : dans un triangle rectangle la tangente d'un angle α (exprimé en radians) est le rapport entre sin(α) et cos(α) :
tan(α) = sin(α) / cos(α)
ou encore entre ses côtés opposé (y) et adjacent (x) :
tan(α) = y / x :
tan(α) est la pente de l'hypoténuse
y = x * tan(α) : y est la projection de x par tan(α)
x = y / tan(α) : x est la projection de y par 1/tan(α)

Propriétés visuelles remarquables :
• si α petit ⇒ sin(α) ≈ α et cos(α) ≈ 1 tg(α) ≈ α
⇔ la droite de longueur tg(α) et la courbe de longueur α se confondent.

La fonction tan() est particulière :

  1. à l'instar des fonction sin() et cos() elle est périodique, leur période étant de π radians ⇒
    tan(α) = tan(π-α) = - tan(α - π)
    de par la seconde égalité la fonction tangente est dite "anti-symétrique" exemple : tan(225°) = tan(225°-180°) = tan(45°) = 1
  2. mais les sommets de la fonction tan() sont à l'infini.
Mplwp sin cos tan piaxis
sin(a+b).png

Addition : soient a et b deux angles quelconques dans le cercle trigonométrique de rayon 1 :

  • sin(a+b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b)
  • cos(a+b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b)

Pour démontrer sin(a+b) on détermine un référentiel pour l'angle b, obtenu par rotation du référentiel de a par la valeur de a. On va alors projeter sin(b) et cos(b) sur l'axe des sinus dans le référentiel de a :
(i) le segment rouge continu est la projection du rayon R=1 par cos(b) c-à-d cos(b) ⇒ par n_cos(a)=sin(90-a) sa projection sur le segment rouge hachuré vaut sin(a) * cos(b)
(ii) le segment bleu hachuré (translaté à droite) est la projection de sin(b) par cos(a) c-à-d cos(a) * sin(b) (PS : c'est bien l'angle a que l'on retrouve là car ses côtés sont perpendiculaires à ceux de a originel).

cos(a+b).png

Même principe pour démontrer cos(a+b), mais cette fois ci on va projeter sin(b) et cos(b) sur l'axe des cosinus dans le référentiel de a :
(i) le segment fléché en violet est la projection de R=1 par cos(a+b);
(ii) le segment fléché en rouge est la projection de cos(b) par cos(a);
(iii) le segment fléché en bleu est la projection de sin(b) par sin(a) (PS : c'est bien l'angle a que l'on retrouve là car ses côtés sont perpendiculaires à ceux de a originel);
(iv) on voit alors que le segment violet vaut le rouge moins le bleu.

Et en remplaçant b par -b on trouve facilement que :

  • sin(a-b) = sin(a) * cos(b) - cos(a) * sin(b)
  • cos(a-b) = cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b)
30-45-degres.png

Pour résoudre de nombreux calculs il est utile de connaître le sin et cos des "angles clés" que sont 30° et 45°.

Si a=30° alors son symétrique par rapport à l'axe X forme avec a un angle de 60° ⇒ comme il y a symétrie chacun des deux autres angles vaut donc (180-60)/2=60° ⇒ le triangle est équilatéral ⇒ les trois côtés valent 1 ⇒
sin(30) = 1/2
⇒ par n_sin2(a)+cos2(a)=1 : 1/4 + cos2(30) = 1 ⇒
cos(30) = √3 / 2

Si a=45° alors par symétrie sin(45)=cos(45) ⇒ par n_sin2(a)+cos2(a)=1 :
sin(45) = cos(45) = 1 / √2

Vecteur

https://jortay.net/savoir-de-base#vecteur

Un vecteur est défini par une origine, une longueur (norme≈module), une direction et un sens (signe). Un vecteur peut être placé à différent endroits de l'espace par translation. Par conséquent on peut le placer à l'origine x=y=0 de son référentiel de sorte que le vecteur a est entièrement défini par ses coordonnées (ax, ay) ce qui a notamment pour effet de simplifier les calculs.

vecteur-translation.png

La norme est une grandeur mathématique (sans dimension c-à-d sans unité) tandis que le module est une grandeur physique (avec unité, par exemple le Newton). Le module de a se note et se calcule comme suit : || a|| = √(ax2 + ay2) n_pythagore. Par convention on écrit souvent a au lieu de || a|| .

Pour additionner deux vecteurs a et (-)b :

  • géométriquement : on place, par translation, l'origine de (-)b à l'extrémité de a
    • a + (-)b est le vecteur allant de l'origine de a à l'extrémité de (-)b
    • a - b est aussi le vecteur allant de l'extrémité de b à celle de a
      ⇔ on a bien que b + (a - b) = a
  • mathématiquement : a + b = (ax, ay) + (bx, by) = ( ax + bx , ay + by )
vecteur-soustraction.png

Le produit de F et L peut être vu comme le produit de la norme de F par la projection de la norme de L sur lui ou inversement : F * L = || F|| * || L|| * cos θ :

vecteur-produit.png

Enigme. Pourquoi a-t-on choisi ici de nommer les deux vecteurs par les lettres F et L ? Réponse infra dans l'équation n_W=F*x(t).

Forme trigonométrique (géométrique) :
F * L = F * L * cos θ    
N.B. Le produit de deux vecteurs n'est donc pas un vecteur mais un nombre ! C'est pourquoi ce produit est dit "scalaire".
F * L = F * L * cos ( φ - λ )
⇒ par n_cos(a-b) : cos(φ-λ) = cos φ * cos λ + sin φ * sin λ :
F * L = F * cos φ * L * cos φ + F * sin φ * L * sin λ    ⇔
par n_sin(a)=y/R et par n_cos(a)=x/R :
Forme algébrique :
F * L = Fx * Lx + Fy * Ly = (Fx, Fy) * (Lx, Ly)

Ces deux formes pourront être utilisées complémentairement pour résoudre certains problèmes. On peut ainsi démontrer le théorème de Pythagore à partir du produit d'un vecteur par lui même :
forme trigonométrique : a * a = ... = ||a||2
forme algébrique : a * a = ... = ax2 + ay2
⇒ ||a||2 = √(ax2 + ay2)

On peut alors démontrer facilement les propriétés du produit scalaire :

  • commutatif : oui;
  • distributif : oui;
    a * ( b + c ) = ax * (bx + cx) + ay * (by + cy) = ...
  • associatif = non car le produit de trois vecteurs ne fait pas sens puisque le produit de deux vecteurs est un nombre.
  • pour la même raison (le produit de deux vecteurs est un nombre) on ne peut jamais diviser par un vecteur : ni un nombre ni un scalaire.
  • le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires vaut zéro (démonstration à partir de forme géométrique puisqu'il est question d'angles).

Géométrie

https://jortay.net/savoir-de-base#geometrie

On va commencer par développer l'expression de la droite dans le plan sous deux formes – paramétrique et vectorielle – selon le type de contrainte imposée au vecteur courant r, qui "dessine" la droite passant par le point de vecteur p.

droite.png

Le lecteur peut ignorer momentanément la partie supérieure gauche du référentiel.

Dans la forme paramétrique
r = p + λ * v
la contrainte est fondée sur un vecteur directeur v (parallèle à la droite) et un paramètre λ;
⇒ exprimée en fonction de ses composantes :
x = py + λ * vy
y = px + λ * vx

⇒ en substituant λ entre les deux ont pourra exprimer y en fonction de x, ce que constitue la forme cartésienne de la droite :
y = vy / vx * x + py - vy / vx * px
mais cela n'est pas l'expression générale de la forme cartésienne de la droite car elle ne permet pas d'exprimer la droite verticale (car vx=0 au dénominateur) ⇒ pour cela on multiplie les deux membres par vx puis on écrit enfin l'équation sous sa forme générale :
- vy * x + vx * y = - vy * px + vx * py
NB : de type a * x + b * y = c

droite.png

Le lecteur peut ignorer momentanément la partie supérieure gauche du référentiel.

que l'on peut écrire également sous sa forme vectorielle, en exploitant le produit scalaire, en l'occurrence en imposant la condition :
n * r = n * p
c-à-d que p et r on la même projection sur n
qui est la forme cartésienne, dont la contrainte est fondée sur le vecteur normal n (perpendiculaire à la droite) de coordonnées (a,b)
⇒ par n_F*L=Fx*Lx+Fy*Ly :
a * x + b * y = a * px + b * py
que l'on comparera à n_-vy*x+vx*y=-vy*py+vx*py et au graphique (copie du précédent) pour aboutir à une interprétation géométrique (sans doute plus intuitive) de la forme cartésienne de l'équation de la droite.

Produit vectoriel

https://jortay.net/savoir-de-base#produit-vectoriel
moment-de-force.png

La composante longitudinale n'intervient pas dans la force de torsion → c'est F*sin(θ) que le moment τ rapporte à r.

Soit un levier (en l'occurrence une clé) par rapport auquel est défini le moment de force (en l'occurrence un moment de torsion) τ = r * F * sin(θ)
r est la longueur du bras de levier, et F la force exercée sur ce bras.
Le moment de force exprime tout simplement la proportionnalité entre la force F*sin(θ) et le la longueur du levier : si je double celle-ci, je peux diminuer de moitié la force exercée sur lui (pour arriver au même résultat).

La règle de la main droite permet de déterminer dans quel sens la force est exercée (visser vs dévisser) : placer le pousse dans la direction de la visse (peu importe le sens pour autant que les doigts soient dirigés vers le point d'application de la force) ⇒ les doigt se plient dans la direction de la force correspondant à son sens déterminé par celui du pouce (ainsi dans le graphique ci-contre on visse en appuyant vers le bas) ;

produit-vectoriel.png

Sous forme vectorielle (et en considérant des vecteurs quelconques à origine commune) :
c = a x b = || a|| * || b|| * sin(θ) * 1
Le produit vectoriel se lit « a croix b ».
où :
1 converti le nombre || a|| * || b|| * sin(θ) en vecteur;
indique que le signe de 1 est déterminé par la règle de la main droite.

Propriétés :

  • commutatif : non, en raison de la règle de la main droite (NB : a x b peut se lire « produit scalaire de a vers b ») :
    a x b = - a x b
    en l'occurrence il s'agit donc d'anticommutativité
    a x a = 0 par n_||a→||*||b→||*sin(θ)*1→⊥ où θ=0.
  • associatif : non, ce que l'on démontre facilement à partir de ( a x a ) x b
  • distributif : oui.
produit-vectoriel-calcul.png

Grâce aux propriétés n_a→xa→=0 et de distributivité on va développer une règle de calcul du produit vectoriel. Une condition est que le référentiel orthonormé soit dextrogyre c-à-d tel que x x y = z ⇔ règle de la main droite : quand on ferme les doigts de la main de x vers y la direction indiquée par le pouce doit être celle de z ⇔ :

1x x 1y = 1z
1y x 1z = 1x
1z x 1x = 1y

Dès lors :
c = a x b = ( ax * 1x + ay * 1y + az * 1z ) x ( bx * 1x + by * 1y + bz * 1z )

Cinétique

https://jortay.net/savoir-de-base#cinematique

Mouvement rectiligne uniforme (MRU) :

La vitesse v est la distance xt - x0 parcourue durant le temps t :

v = ( xt - x0 ) / t   ⇔  xt = x0 + v * t    ⇒
xt - x0 est la surface en dessous de la droite vt = v0

MRU.png

Mouvement rectiligne uniforme accéléré (MRUA) :

L'accélération a est la vitesse vt - v0 acquise durant le temps t :

a = ( vt - v0 ) / t   ⇔   vt = v0 + a * t
(NB : équation du 1° degré en t)    ⇒
xt - x0 est la surface en dessous de la droite vt = v0 + a * t    ⇒
xt - x0 = v0 * t + a * t2 / 2    ⇔
xt = x0 + v0 * t + a * t2 / 2
(NB : équation du 2° degré en t)    ⇔
xt = x0 + ( v0 + vt ) / 2 * t

MRUA.png
  • On retrouve le MRU en posant a=0.
  • ∫ v(t) * dt = x(t)dx(t) / dt = v(t)

L'analyse ci-dessus (cinématique) fait abstraction des masses qui caractérisent les corps, ainsi que les éventuelles forces qu'ils peuvent subir ou exercer en relation avec d'autres corps (cinétique).

Énergie cinétique :

Réaliser un travail W c'est exercer, durant un temps t, une force F sur une distance x :

W = F * x(t)    

Exercer une force F c'est imprimer une accélération a au déplacement d'une masse M (NB : le principe d'inertie postule qu'il n'est pas besoin de subir une force pour être en mouvement) :

F = m * a     ⇔
W = M * a * x(t)     ⇔
W = M * v(t) / t * v(t) * t / 2     ⇔
W = M * v(t)2 / 2     ⇒

Lorsque le travail s'arrête l'énergie dans laquelle il s'est transformé (principe de conservation) a atteint un niveau maximum ⇒ la vitesse devient constante : on est donc revenu au MRU, celui des planètes qui dans le vide ne sont pas soumises à des forces de frottement :

Ec = M * v2 / 2

Gaz parfaits

https://jortay.net/savoir-de-base#gaz-parfait

La loi des gaz parfaits constitue la base de la thermodynamique. Au 19° siècle on avait découvert expérimentalement la loi des gaz parfaits :
P * V = N * kB * T
: à température constante si l'on diminue le volume alors la pression augmente. Afin de comprendre les mécanismes physiques de cette loi il faut prendre en compte la nature atomique (c-à-d non continue) de la matière.

piston.png

Étape 1

On étudie d'abord le cas simplifié d'un volume de gaz contenu dans un piston librement coulissant, et composé d'une seule particule en mouvement vertical d'allers-retours, et dont on connaît la masse et la vitesse. On veut alors identifier les conditions d'équilibre volumique de ce gaz, c-à-d telles que la force d'impact moyenne f̄ de cette particule contre le piston est égale au poids M * g de celui-ci. f̄ est donc une force imaginaire continue qui porte le piston comme si celui-ci reposait sur un socle (portage statique &asymp. portage dynamique) :
f̄ = M * g (troisième loi de Newton ou principe "d'action-réaction" : toutes les forces apparaissent par couple de forces opposées).
Vu que g est connu il reste à déterminer M.
Pour ce faire on recourt au principe selon lequel l'équilibre est caractérisé par la conservation des quantités de mouvement du piston (M*V) et du volume de gaz (m*v) :
M * V = m * v
M = m * v / V   ⇒ il reste à déterminer V.
Or, soit x la position verticale du piston, on peut considérer que l'équilibre est caractérisé par xt=0 dans
x = ( V * T ) - g / 2 * T2 n_xt=x0+v0*t V est la vitesse initiale du piston et T le temps mis par la particule pour faire un aller-retour     ⇔
V = g * T / 2  ⇒ il reste à déterminer T.
Or soit L la hauteur du volume de gaz :
v = 2 * L / T  ⇔  T = 2 * L / v   ⇒   substit. dans V :
V = g * L / v  ⇒  substit. dans M :
M = m * v2 / g / L  ⇔  M * g = m * v2 / L     ⇔
f̄ = m * v2 / L
f̄ est ainsi déterminé puisque l'on connaît m, v et L. En outre on s'est affranchi de g dans son expression. On est alors en mesure de faire le lien avec la loi expérimentale grâce à Ec = m * v2 / 2 n_Ec=M*v2/2 que l'on substitue dans n_f=m*v2/L    ⇒
f̄ * L = 2 * Ec     ⇒
Soit S la surface supérieure du cylindre :
( f̄ / S ) * ( L * S ) = 2 * Ec     ⇔
P * V = 2 * Ec qu'en comparant avec
P * V = N * kB * T on pourrait qualifier de "loi des gaz parfaits à une particule". Il nous reste donc à généraliser au cas de N particules.

Étape 2

On va maintenant étendre l'analyse au cas de N particules de vitesse d'angles quelconques. Nous raisonnons alors dans le cadre d'un gaz à l'équilibre tel que la force d'impact moyenne f̄ de ses particules contre chacune de ses parois est égale à la force de réaction exercée par celles-ci.

Pour ce faire on va considérer que le gaz est parfait c-à-d que ses particules n'interagissent pas, ce qui requiert :

  • de les considérer comme de simples "masses ponctuelles" c-à-d de volume nul, de sorte que leur taille étant sans commune mesure avec la distance caractéristique qui les sépare elles ne se rencontrent jamais (il n'y a donc pas d'interactions entre elles) ; on dit alors que le gaz qu'elles forment est "dilué" c-à-d que sa pression est faible ;
  • que sa température ne soit pas trop basse, sans quoi il y aura des agrégats de particules c-à-d des interactions entre elles (et il ne s'agit alors plus d'un gaz parfait).

La particule étant ponctuelle on peut considérer sa vitesse non plus comme un scalaire mais comme un vecteur, ce qui permet de considérer des vitesses d'angles quelconques.
ft = m * dv/dt    ⇔
ft = m * (dvx/dt * 1x + dvy/dt * 1y + dvz/dt * 1z)    ⇒
Mais comme d'autre part on suppose l'absence de frottement avec les parois ainsi que dans le volume, il n'y a que la composante en x de la vitesse (vx) qui change (lors du contact avec la paroi) :
ft = m * dvx/dt * 1x   ⇔
ft, force d'impact moyenne d'une particule d'inclinaison quelconque, est orientée perpendiculairement à la paroi qui subit le choc.

Dans l'étape théorique suivante les forces d'impact exercées par les N particules sur la paroi sont sommées en une force unique :
F = ∑ f̄n ⇒ par n_f=m*v2/L :
F = ∑ m * v2nx / L    ⇔
F = N * m / L * ∑ vnx2 / N    ⇔
F = N * m / L * < vx2 >
où < vx2 > est la moyenne "d'ensemble" (tandis que f̄ est une moyenne "temporelle") des vitesses en x.

Ensuite en raison de la distribution isotrope des vitesses (aucune des directions donc aucune des composantes de la vitesse n'est privilégiée puisqu'on se situe dans le vide) on a que le module
< v2 > = 3 * < vx2 >     ⇒
F = N * m / L * < v2 > / 3     ⇔ (en divisant par la surface S de la paroi supérieure)
P = N * m / V * < v2 > / 3     ⇔
P V = N * m * < v2 > / 3     ⇒
si l'on compare avec l'égalité expérimentale
P * V = N * kB * T
on en déduit que
m * < v2 > / 3 = kB * T    ⇒
2 * < m *v2 / 2 > / 3 = kB * T
Or Ec = m * v2 / 2 n_Ec=M*v2/2    ⇒
T = 2/3 * < Ec > / kB
où < Ec > est l'énergie cinétique moyenne par particule de gaz.

On comprend alors physiquement ce qu'est la température. On comprend en particulier pourquoi la température la plus basse qui puisse exister – le zéro absolu – est celle d'un gaz parfait dont l'énergie cinétique est nulle, niveau le plus bas que l'énergie cinétique puisse atteindre. On comprend également qu'en apportant de la chaleur à un gaz on augmente son énergie cinétique.

n_check

Infos


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