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Savoir de base

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Màj : 22nov. 2020   –   # pages : 77 [?]

Introduction

https://jortay.net/savoir-de-base#intro
savoir-de-base.png

La philosophie et la science traitent du savoir : la première s'intéresse au savoir pourquoi, la seconde au savoir comment.

Cependant la frontière entre ces deux approches n'est pas nette, il y des incursions, par le biais de différentes formes de langages. La linguistique semble plus adaptée à la philosophie (quoique ...) tandis que les scientifiques préfèrent souvent (mais pas toujours) les mathématiques et l'informatique.

Le schéma suivant propose une synthèse de la relation historique et logique entre ces notions.

Le présent article est une tentative (en cours) de synthétiser les bases du savoir scientifique, par le biais du concept de noyau informationnel. Un noyau informationnel est la synthèse la plus petite en nombre de kilobits que l'on puisse faire d'une thématique. Il contient l'information minimale permettant de déduire tout le reste de la thématique. On peut faire un lien avec l'antisèche, le noyau d'un fruit, le noyau cellulaire ou encore le noyau de système d'exploitation.

L'étude d'un phénomène et l'apprentissage d'une matière consistent à en isoler le noyau informationnel. Pour ce faire il faut comprendre la logique du phénomène ou de la thématique.

Chaque section de ce document présente le noyau informationnel d'une thématique. Leur contenu a été réalisé à partir des exceptionnelles vidéos de clipedia.be, réalisées par des professeurs et chercheurs de l'Université libre de Bruxelles. Chaque section peut être vue comme un résumé – écrit et illustré – d'une ou plusieurs vidéos. Une autre plus-value du présent document par rapport au site clipedia.be est la double numérotation :

  • thématiques : numérotation des sections, reflétant le développement scientifique historique et logique (mathématique et physique précédant chimie et biologie);
  • équations : numérotation des équations "clés" ≡ le fil rouge de ce développement :
    • numérotation rouge : première apparition de l'équation ⇒ présentée avec sa démonstration;
    • numérotation noire : renvois, à partir de démonstrations, vers des équations utilisées dans celles-ci.
Défi

J'ai développé pour ce faire ma propre technologie (en JavaScript et PHP) de numérotation adaptative des sommaires, sections et références intra-documentaires. Je suis ainsi outillé pour réaliser ce qui est loin d'être évident : est-il possible et rationnel de numéroter logiquement un fil rouge du développement scientifique ? La réponse n'est pas évidente, notamment parce que (i) ce développement est fait de concomitances ; (ii) d'autre part de nombreux faits expérimentaux n'ont été démontrés mathématiquement qu'ultérieurement (et inversement) grâce à d'autres progrès qui par rapport à ces faits expérimentaux (ou théoriques) furent subséquents et connexes. Il n'est donc pas évident de délier cet écheveau d'intrications spatio-temporelles en un "fil rouge". Cependant le travail réalisé à ce jour (on approche les 60% des 175 vidéos) suscite l'optimisme (et l'organisation logique des sections ne pourra véritablement être finalisée qu'un fois les 100% atteints) ...

Si tu prépares l'examen d'entrée en faculté de médecine ou en école polytechnique, ce document est fait pour toi ! N.B. : ce document, encore très incomplet, est une publication en édition continue (PEC) créée récemment (juin 2020) : pour être informé.e de l'ajout des nouvelles sections à venir abonnez-vous à mon compte Twitter ou à ma page Facebook.

Puissance et exposant

https://jortay.net/savoir-de-base#puissance-exposant

L'expression a2 se lit "a exposant 2" ou encore "a puissance 2". Mais elle se lit aussi "a carré" car a2 est la surface d'un carré de côté de longueur a. De même a3 se lit "a exposant 3" ou encore "a puissance 3". Mais elle se lit aussi "a cube" car a3 est la surface d'un cube d'arrête a.

La notion de puissance est illustrée dans nombre d'applications du monde physique :

  • au 19° siècle Ludwig Boltzmann a démontré que tout corps chauffé émet de la lumière dont l'intensité est proportionnelle à la puissance quatre de sa température : I = c * T 4 exprimant ainsi une forte sensibilité de l'intensité lumineuse par rapport à la température du corps : quand on double la température l'intensité est multipliée par 24=16.
  • au 17° siècle Isaac Newton a montré que la lune est attirée par la Terre par une force (dite "gravitationnelle") proportionnelle à l'inverse du carré de la distance séparant les deux astres : F = C / d 2 : si cette distance doublait cette force diminuerait d'un facteur 1/22=1/4.
  • la notation exponentielle (ou "scientifique") permet également d'exprimer simplement des grandeurs très élevées, telles que la vitesse de la lumière :
    c = 300.000.000 m/s    ⇔
    c = 3 * 100.000.000 m/s    ⇔
    c = 3 * 108 m/s

Règles de calcul :

  • produit de puissances :
    π n ( a pi ) = a n pi
    Exemple : ( a u * a v ) = a u+v
    Démonstration :
    π n ( a pi ) =
    π n ( π pi a) =
    π p1 a * ... * π pn a =
    a n pi
    CQFD
    P.S. On peut alors démontrer que a 0 = 1 (sauf si a=0, dans lequel cas il y a indétermination) :
    a m * a 0 = a (m+0)    ⇔
    a m * a 0 = a m    ⇔
    a 0 = 1
    CQFD
  • puissance de produit :
    ( π a ) n = π ( a n )
    Exemple : ( x * y ) n = x n * y n
    Démonstration :
    ( π a ) n =
    par définition de l'exposant
    π n ( π a ) =
    par commutativité du produit
    π ( π n  a ) =
    π ( a n )
    CQFD
  • puissance de puissance :
    ( a m ) n = a m*n
    Démonstration :
    ( a m ) n =
    π n ( a m ) =
    par n_produit-de-puissances :
    a n m =
    a m*n
    CQFD
  • quotient de puissance :
    a m / a n = a m - n
    Démonstration :
    a m / a n =
    π m ( a ) / π n ( a ) =
    π m-n ( a ) =
    a m - n
    CQFD
    Ce qui permet d'introduire la notion d'exposant négatif en posant m=0 dans n_quotient-de-puissance :
    a 0 / a n = a 0 - n    ⇒
    par n_exposant-zero :
    1 / a n = a - n qui est donc la définition de a-n.
Vidéos clipedia :
.1. Puissance et exposant : introduction
.2. Puissance et exposant : illustration
.3. Puissance et exposant : règles de calcul
.4. Puissances négatives : règles de calcul

Logarithme

https://jortay.net/savoir-de-base#logarithme
Définition

La notion de logarithme repose sur la fonction exponentielle y (x) = b x ou b est appelé "base de la fonction exponentielle". La "fonction logarithmique en base b" est alors simplement logb (y) = x. La définition du logarithme est donc (en simplifiant y (x) par y) :
y = b x   ⇔   logb (y) = x

  • L'opération de gauche à droite est appelée "passage au logarithme".
  • Par convention lorsque b=10 on ne mentionne pas la base : log x = log10 x

Autrement dit (en lisant l'équivalence de droite à gauche) : le logarithme en base b (logb) d'un nombre y est la puissance en base b qui donne ce nombre y.

Fonctions réciproques. Les fonctions logarithme log(x) et exponentielle exp(x) sont réciproques, c-à-d que log( exp(x) )= exp( log(x) ) = x : (7)

  • exp( log(x) ) = x : en substituant la valeur de x du membre de droite de l'équivalence n_log-def-longue dans le membre de gauche ⇒ y = b logb (y) ;
  • log( exp(x) ) = x : en substituant la valeur de y du membre de gauche de l'équivalence n_log-def-longue dans le membre de droite ⇒ logb ( b x ) = x.
Applications

On va montrer l'utilité du logarithme pour (i) rendre possible la comparaison de mesures d'ordres de grandeurs très différentes ; (ii) faciliter le calcul du produit de grand nombres ; mesurer la perception auditive.

Ordre de grandeurs. Dans l'échelle de mesure suivante, dont l'unité est le mètre, on peut comparer un humain et un cétacé, mais on ne peut distinguer les corps d'ordres de grandeur inférieurs au mètre, ni mesurer ceux d'un ordre de grandeur dépassant la largeur de l'écran (ici un séquoia).

echelle-non-log.png

Pour résoudre ce problème il suffit de passer à la notation scientifique (ou notation exponentielle) des ordres de grandeur :

virus~ 0,1 µm10- 7 m
bactérie~10 µm10- 5 m
fourmi~ 1 mm10-3 m
souris~ 1 cm10-2 m
humain~ 1 m100 m
cétacé~ 10 m101 m
séquia~ 100 m102 m

Il suffit alors d'utiliser les exposants pour graduer l'échelle dite "logarithmique". L'unité de cette échelle correspond à un rapport ("logos") constant de valeur b=10 : 10 - (n-1) / 10 - n = 10 (alors que l'échelle précédente correspond à un rapport n / n - 1, qui n'est pas constant).

echelle-log.png

Cette échelle fait bien appel à la notion de log. Ainsi prenons le cas de la fourmi : log(1mm)=log(0,001m)=-3 car 0,01=10-3.

Simplification de calculs. La notion de logarithme a été développée au 17° siècle par John Napier pour faciliter les calculs impliquant des grands nombres (exemple : 3.5478.341 * 6.148.632). Cette technique de simplification exploite la propriété π n ( a ei ) = a n ei n_produit-de-puissances :

Soit 3.5478.341 = A et 6.148.632 = B    ⇒ par n_produit-de-puissances :
log ( A * B ) = log (A) + log (B)    ⇒
pour calculer A * B il suffit de :
1. chercher log(A) et log (B) dans la table des logarithmes
2. calculer log (A) + log (B)     ⇒ on connaît log ( A * B )     ⇒
3. chercher log ( A * B ) dans la table de logarithmes
4. on trouve A * B à la même ligne de la colonne adjacente.
CQFT

Perception auditive. L'échelle logarithmique correspond à divers phénomènes naturels tels que l'audition. L'oreille humaine moyenne peut percevoir des intensités sonores comprises entre 10-12 W/m2 (noté I0 et appelé "seuil d'audibilité) et 1 W/m2 (appelé "seuil de dommage" : au-delà l'intensité commence à provoquer des lésions).

Mais l'intensité perçue par l'oreille humaine ne répond pas à la même dynamique que l'intensité mesurée par un appareil de mesure (microphone + sonomètre). Ainsi le graphique suivant montre que si la puissance de la source sonore est doublée la perception de cette variation par l'oreille est inférieure à ce facteur 2, et en outre cet effet d'amortissement (ou plutôt de saturation) augmente avec le niveau de puissance de la source. Le graphique suivant exprime cela de façon inverse : pour doubler la perception d'un son par l'oreille humaine il faut multiplier la source par un facteur croissant. Il apparaît que cette croissance est exponentielle : pour augmenter la perception de n à 2n la source doit augmenter de 10n (exemple : pour que la perception passe de 4 à 8 la source doit augmenter de 104.

echelle-sonore.png

Le zéro est placé à I0 et l'unité est fixée arbitrairement à 10 * I0.

On peut alors concevoir une unité sonore spécifique à l'oreille humaine pour obtenir une échelle mesurant l'intensité perçue par l'oreille humaine. Pour ce faire on opère en deux phases :

  1. Dans la seconde règle du graphique ci-dessous on exprime l'intensité sonore I en x unités du seuil d'audibilité I0 : I = x * I0 = x * 10-12 W/m2 :
    echelle-auditive.png

    Notez les unités différentes (à droite en vert).

  2. Dans ces conditions y = log x traduit le fait que l'intensité sonore perçue (y) répond de façon logarithmique à l'intensité sonore mesurée (x). L'unité de y est appelée "bel" (en hommage à Graham Bell), mais en pratique on utilise plutôt le dB : y = 10 log x [dB].

    echelle-auditive-dB.png

Comparons les intensités sonore de la voiture (V) et de la moto (M) :
40 = 10 (log xV)
80 = 10 (log xM)


xV = 10 4
xM = 10 8

⇒ par n_quotient-de-puissance :
xM / xV = 10 4
Interprétation : alors que la puissance sonore mesurée du moteur de moto est 10.000 fois supérieur à celle de la voiture nous ne percevons qu'une différence par un facteur 80/40=2 (PS : quant à la différence, perçue ou mesurée, entre voiture et moto, c'est grâce à la longueur plus grande de son pot d'échappement que la voiture amortit mieux la pression acoustique émise par les pistons du moteur à explosion).

Propriétés

Si dans l'équivalence y = b x   ⇔   logb (y) = x n_log-def-longue on substitue la valeur de y du membre de gauche de dans le membre de droite, on obtient que :
logb b x = x
c-à-d que le logarithme de l'exponentielle, c'est la fonction identité.

Et si dans cette même équivalence y = b x   ⇔   logb (y) = x n_log-def-longue on applique la fonction exponentielle à l'égalité de droite, alors on en déduit, par comparaison avec l'égalité de gauche, que :
b logb y = y
c-à-d que l'exponentielle du logarithme, c'est aussi la fonction identité.

Logarithme et exponentielle sont donc des fonctions réciproques.

graphe-exp-log.jpg

On obtient le graphe de la fonction log à partir de la fonction exp par deux rotations : 90° à sens horaire, puis 180° de bas en haut.

Les nombres négatifs ne font pas partie du domaine de la fonction log (exemple : -3 = 10 ?).

Quelques valeurs remarquables :
logb 0 = - ∞car0 = b - ∞
logb 1 = 0car1 = b 0
logb ∞ = car∞ = b

Règles de calcul :

  • logarithme d'un produit :
    En remplaçant pi par logb(pi) dans π n b pi = b n pi n_produit-de-puissances    ⇒ par n_exp-de-log
    π n b logb pi = b n logb pi    ⇔
    par n_exp-de-log :
    π n pi = b n logb pi    ⇔
    log π n pi = log ( b n logb pi )    ⇔
    par n_exp-log-reciproques :
    logb π n pi = ∑ n logb pi
  • logarithme d'une puissance :
    en remplaçant m par logba dans ( b m ) n = b m*n n_puissance-de-puissance     ⇒
    ( b logb a ) n = b n * logb a     ⇔
    a n = b n * logb a     ⇔
    logb a n = n * logb a     ⇔
  • logarithme d'un quotient :
    en remplaçant m par logbm et n par logbn dans a m / a n = a m - n n_quotient-de-puissance     ⇒
    a logb m / a logb n = a logb m - logb n    ⇔
    m / n = a logb m - logb n    ⇔
    log ( m / n ) = logb m - logb n
  • Soit
    x = a loga x     ⇒
    b = a loga b
    substitué dans :
    x = b logb x     ⇒
    x = ( a loga b ) logb x     ⇔
    x = a loga b * logb x     ⇒
    égalité entre les membres de droite des 1° et 5° égalités ⇒
    loga x = loga b * logb x
    En particulier si x=a ⇒
    loga a = loga b * logb a
    1 = loga b * logb a     ⇔
    loga b = 1 / logb a

Enfin on notera que dans la pratique ce sont essentiellement trois bases qui sont utilisées : 10, 2 (notamment en informatique) et e=2,718281... (où loge est noté ln et appelé logarithme népérien en honneur à John Napier).

Vidéos clipedia :
.1. Les logarithmes : introduction
.2. Le logarithme et l’audition
.3. La fonction logarithme

Numération de position

https://jortay.net/savoir-de-base#numeration-de-position
# unités / paquetbn...b2b1b0
# max. de paquetsb-1b-1b-1b-1b-1

Le tableau suivant calcule 185 en base b=7 (exprimé avec les symboles de la numérotation décimale : 0, 1 ,2, ...,9) : 185 < 343 ⇒ le nombre commence en colonne b2 : dans 185 je peux mettre 185/49=3,8 paquets de 49 ⇒ 3 en b2 ⇒ restent 185-3*49=38. On passe en b1 : dans 38 je peux mettre 38/7=5,4 paquets de 7 ⇒ 5 en b1 ⇒ restent 38-5*7=3 ⇒ 3 en b1 ⇒ 1857=353 [vérifier].

b3b2b1b0
3434971
353

Le tableau suivant calcule 40 en base b=2 (exprimé avec les symboles de la numérotation décimale : 0, 1 ,2, ...,9) : 40 < 64 ⇒ le nombre commence en colonne b5 : dans 40 je peux mettre 40/32=1,25 paquets de 32 ⇒ 1 en b5 ⇒ restent 40-1*32=8. En b4 on a 16 > 8 ⇒ 0 en b4. En b3 on a 8 qui comble exactement le reste de 8 ⇒ 1 en b3 ⇒ 402=101000 [vérifier].

b6b5b4b3b2b1b0
6432168421
101000
Vidéos clipedia :
.1. Numération de position

Unités de mesures

https://jortay.net/savoir-de-base#unites-mesure

Convention d'écriture. Avant d'entrer dans le vif du sujet voici quelques précisions importantes concernant l'usage des parenthèses :
de même que :
2 * 2 * 2 =
( 2 * 2 ) * 2 = 6
on a que :
2 / 2 / 2 =
( 2 / 2 ) / 2 =
1 / 2 = 0,5
L'usage de la parenthèse ne s'impose donc que lorsque l'on doit préciser sur quoi porte l'opérateur qui la précède :
2 / ( 2 / 2 ) = 2

On notera que cette convention d'écriture correspond au mode d'utilisation d'une machine à calculer.

Entrons maintenant dans le vif du sujet. Un point fondamental est que les notations d'unité peuvent être traitées comme des nombres.

Surfaces

Ainsi pour l'unité de surface (x*y) en mètres (m) :
S = x m * y m = x * y m m = x * y m2

Supposons maintenant qu'on veuille calculer le nombre N de briques de surface latérale de 75 cm2 nécessaire pour construire un mur de 3 m2 :
N = 3 m2 / ( 75 cm2 ) =
ces parenthèses ne s'imposent pas ici car l'unité de mesure est nécessairement attachée au nombre qui la précède :
3 m2 / 75 cm2 =
3 m m / 75 cm2 =
3 * 100 cm * 100 cm / 75 cm2 =
3 * 10.000 cm cm / 75 cm2 =
3 * 10.000 cm2 / 75 cm2 =
les unités de mesure au numérateur et dénominateur s'annulent comme des nombres :
30.000 / 75 = 400

Ce nombre de brique est dit "sans dimension" : aucune unité de mesure ne lui est associée.

Vitesse

Passons maintenant aux unités composées. Quelle est la vitesse moyenne en km/h atteinte par le recordman du monde du 100 mètres (9s58, Usain Bolt, 2009) ?

v = 100 m / 9,58 s
or 1 km = 1000 m ⇔ 1 m = 1 / 1000 km
et 1 h = 60 m = 60 * 60 s = 3600 s ⇔ 1 s = 1 / 3600 h    ⇒

v = 100 * 1 / 1000 km / ( 9,58 * 1 / 3600 h )    ⇔
v = 100 / 1000 / 9,58 * 3600 km/h = 37,6 km/h

N.B. Il s'agit là de la vitesse moyenne. Or la vitesse de départ est de zéro ⇒ il y a une accélération conduisant à une vitesse maximale vers la fin de course. Cette vitesse de pointe atteinte par Bolt fut d'environ 45 km/h. L'antilope et le guépard peuvent atteindre une vitesse de pointe d'environ 95 km/h [source].

Température

Le passage des mesures de température entre degrés Celsius et Fahrenheit se fait selon l'équation T C = ( T F - 32 ) / 1,8.

radian.png

Angles

Radian. Par définition α = a radians ⇔ arc(α) = a * R (en unités de longueur de R) .

En particulier α = 1 radian ⇔ arc(α) = R : exprimer l'angle α en radians (rad) c'est donc l'exprimer par rapport à une unité correspondant à une longueur d'arc égale au rayon R.

Degré. Le degré est défini par rapport au radian et au nombre π ("Pi"). Soit C la circonférence d'un cercle de rayon R :
π = C / R / 2
⇔ C = 2 * π * R
⇒ par définition du dégré :
360 deg = 2 * π  rad    ⇔
deg = π / 180  rad    ⇔
1  rad = 180 / π  deg ≈    ⇔
1  rad = 180 / 3,1416  deg = 57,3 °

Le tableau suivant résume les développements ci-dessus sous forme de règles de trois.

RADARCDEG
θθ * R?
2 * π2 * π * R360
1R90 / π * 2 * R
1R=1180 / π ≈ 180 / 3,1416 = 57,3

Un intérêt du radian, en liant toute grandeur d'angle à une longueur d'arc correspondante (pour un R déterminé *), est de faciliter la mesure des angles : on mesure la longueur de l'arc ⇒ on en déduit la taille de l'angle en degrés (alors que pour mesurer directement en degré il faut utiliser un rapporteur).

(*) Mais dans le cercle trigonométrique on suppose toujours R=1

Vidéos clipedia :
.1. Changements d'unités
.2. Les échelles de température
.3. Le thermomètre
.4. Le radian

Trigonométrie

https://jortay.net/savoir-de-base#trigonometrie
somme-angles-triangle.png

La somme des angles d'un triangle quelconque vaut 180° ou π rad.
C'est un résultat que l'on peut deviner intuitivement en réalisant que 180° c'est la moitié d'un cercle. Historiquement la première démonstration (ci-contre) fut probablement visuelle (géométrique). Elle confirme, par translation du triangle, cette intuition de développement des trois côtés en une ligne droite.

trigonometrie.png

Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle :
R2 = x2 + y2 .


Historiquement la première démonstration fut probablement visuelle (géométrique) :

  1. la rotation de l'hypoténuse R correspondant aux surfaces x2 et y2 génère la surface R2;
  2. la surface R2 pivote autour du même point pour inscrire son côté supérieur dans la surface y2;
  3. les trois surfaces à l'extérieur de R2 remplissent exactement les deux surfaces vides à l'intérieur de R2 ⇔ la surface R2 égale la somme des surface x2 et y2. CQFD.
pythagore.png

Nous en verrons une démonstration mathématique dans la section consacrée aux vecteurs (produit scalaire).

sin-cos.png

Définition (⇒ ne se démontre pas) : dans un triangle rectangle le sinus d'un angle est le rapport entre son côté opposé et l'hypoténuse :
sin(a) ≡ y / R
y = R * sin(a) : y est la projection de R par sin(a)
R = y / sin(a) : R est la projection de y par 1/sin(a)

Définition : dans un triangle rectangle le cosinus d'un angle est le rapport entre son côté adjacent (c-à-d celui qui le relie à l'angle droit) et l'hypoténuse :
cos(a) ≡ x / R
x = R * cos(a) : x est la projection de R par cos(a)
R = x / cos(a) : R est la projection de x par 1/cos(a)

Par n_sinus et n_cos(a)=x/R :
cos(a) = sin (b)    ⇒
par n_somme-angles-triangle :
cos(a) = sin (90-a)    ⇔
sin(a) = cos(90-a)

Loi de projection. On peut alors généraliser en disant que :

  • tout côté adjacent de l'hypoténuse est la projection de celle-ci par le cosinus de l'angle qu'il forme avec elle, ou par le sinus de l'angle opposé ;
  • l'hypoténuse est la projection de chacun des autres côtés par l'inverse du cosinus de l'angle qu'il forme avec lui , ou par l'inverse du sinus de l'angle opposé.
loi-sinus.png

Loi des sinus : dans un triangle quelconque le rapport entre le sinus d'un angle et son côté opposé est identique pour les trois angles ⇒
sin(α) / a = sin(β) / b = sin(γ) / c .
Démonstration par n_projection1 :
H = c * sin(β) = b * sin(γ) ⇔
H = c / sin(γ) = b / sin(β) ⇒
même principe en prenant un autre côté commé référentiel ⇒ CQFD.

Par n_sinus et n_cos(a)=x/R substitués dans n_pythagore :
sin2(a) + cos2(a) = 1

tangente.png

Définition : dans un triangle rectangle la tangente d'un angle α (exprimé en radians) est le rapport entre sin(α) et cos(α) :
tan(α) ≡ sin(α) / cos(α)
ou encore entre ses côtés opposé (y) et adjacent (x) :
tan(α) = y / x :
tan(α) est la pente de l'hypoténuse
y = x * tan(α) : y est la projection de x par tan(α)
x = y / tan(α) : x est la projection de y par 1/tan(α)

Propriétés visuelles remarquables :
• si α petit ⇒ sin(α) ≈ α et cos(α) ≈ 1 tg(α) ≈ α
⇔ la droite de longueur tg(α) et la courbe de longueur α se confondent.

La fonction tan() est particulière :

  1. à l'instar des fonction sin() et cos() elle est périodique, leur période étant de π radians ⇒
    tan(α) = tan(π-α) = - tan(α - π)
    de par la seconde égalité la fonction tangente est dite "anti-symétrique" exemple : tan(225°) = tan(225°-180°) = tan(45°) = 1
  2. mais les sommets de la fonction tan() sont à l'infini.
Mplwp sin cos tan piaxis
sin(a+b).png

Addition : soient a et b deux angles quelconques dans le cercle trigonométrique de rayon 1 :

  • sin(a+b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b)
  • cos(a+b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b)

Pour démontrer sin(a+b) on détermine un référentiel pour l'angle b, obtenu par rotation du référentiel de a par la valeur de a. On va alors projeter sin(b) et cos(b) sur l'axe des sinus dans le référentiel de a :
(i) le segment rouge continu est la projection du rayon R=1 par cos(b) c-à-d cos(b) ⇒ par n_cos(a)=sin(90-a) sa projection sur le segment rouge hachuré vaut sin(a) * cos(b) ;
(ii) le segment bleu hachuré (translaté à droite) est la projection de sin(b) par cos(a) c-à-d cos(a) * sin(b) (PS : c'est bien l'angle a que l'on retrouve là car ses côtés sont perpendiculaires à ceux de a originel).

Nous verrons plus loin dans le cours que l'on peut démontrer ces propriétés algébriquement, plus simplement, en faisant appel à la fonction exponentielle.

Un cas particulier de n_cos(a+b) est :
cos(2a) = cos2(a) - sin2(a)
or sin2(a) + cos2(a) = 1 n_sin2(a)+cos2(a)=1    ⇒
cos(2a) = 2 * cos2(a) - 1
cos(2a) = 1- 2 * sin2(a)

cos(a+b).png

Même principe pour démontrer cos(a+b), mais cette fois ci on va projeter sin(b) et cos(b) sur l'axe des cosinus dans le référentiel de a :
(i) le segment fléché en violet est la projection de R=1 par cos(a+b);
(ii) le segment fléché en rouge est la projection de cos(b) par cos(a);
(iii) le segment fléché en bleu est la projection de sin(b) par sin(a) (PS : c'est bien l'angle a que l'on retrouve là car ses côtés sont perpendiculaires à ceux de a originel);
(iv) on voit alors que le segment violet vaut le rouge moins le bleu.

Et en remplaçant b par -b on trouve facilement que :

  • sin(a-b) = sin(a) * cos(b) - cos(a) * sin(b)
  • cos(a-b) = cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b)
30-45-degres.png

Pour résoudre de nombreux calculs il est utile de connaître le sin et cos des "angles clés" que sont 30° et 45°.

Si a=30° alors son symétrique par rapport à l'axe X forme avec a un angle de 60° ⇒ comme il y a symétrie chacun des deux autres angles vaut donc (180-60)/2=60° ⇒ le triangle est équilatéral ⇒ les trois côtés valent 1 ⇒
sin(30) = 1/2
⇒ par n_sin2(a)+cos2(a)=1 : 1/4 + cos2(30) = 1 ⇒
cos(30) = √3 / 2

Si a=45° alors par symétrie sin(45)=cos(45) ⇒ par n_sin2(a)+cos2(a)=1 :
sin(45) = cos(45) = 1 / √2

Vidéos clipedia :
.1. Somme des angles du triangle
.2. Théorème de Pythagore
.3. La fonction sinus
.4. La fonction cosinus
.5. La tangente : introduction
.6. La fonction tangente
.7. La formule d'addition du sinus
.8. La formule d'addition du cosinus
.9. La loi des sinus

Vecteur

https://jortay.net/savoir-de-base#vecteur

Un vecteur est défini par une origine, une longueur (norme≈module), une direction et un sens (signe). Un vecteur peut être placé à différent endroits de l'espace par translation. Par conséquent on peut le placer à l'origine x=y=0 de son référentiel de sorte que le vecteur a est entièrement défini par ses coordonnées (ax, ay) ce qui a notamment pour effet de simplifier les calculs.

vecteur-translation.png

La norme est une grandeur mathématique (sans dimension c-à-d sans unité) tandis que le module est une grandeur physique (avec unité, par exemple le Newton). Le module de a se note et se calcule comme suit : || a|| = √(ax2 + ay2) n_pythagore. Par convention on écrit souvent simplement a au lieu de || a|| .

Addition

Pour additionner deux vecteurs a et (-)b on peut procéder géométriquement ou mathématiquement :

  • géométriquement : on place, par translation, l'origine de (-)b à l'extrémité de a
    • a + (-)b est le vecteur allant de l'origine de a à l'extrémité de (-)b
    • a - b est aussi le vecteur allant de l'extrémité de b à celle de a
      ⇔ on a bien que b + (a - b) = a
  • mathématiquement : a + b = (ax, ay) + (bx, by) = ( ax + bx , ay + by )
vecteur-soustraction.png

L'addition vectorielle permet de montrer que : a = ( ax , ay ) = ax * 1x + ay * 1y1x est le vecteur unitaire, qui est tel que 1x = x / || x || (PS : ceci montrant bien que l'on peut accorder aux unités des axes des longueurs arbitraires, éventuellement différentes).

Produit
scalaire

Le produit de F et L peut être vu comme le produit de la norme de F par la projection de la norme de L sur lui ou inversement : F * L = || F|| * || L|| * cos θ :

vecteur-produit.png

Enigme. Pourquoi a-t-on choisi ici de nommer les deux vecteurs par les lettres F et L ? Réponse infra dans l'équation n_travail.

Forme trigonométrique (géométrique) :
F * L = F * L * cos θ     ⇔
N.B. Le produit de deux vecteurs n'est donc pas un vecteur mais un nombre ! C'est pourquoi ce produit est dit "scalaire".
F * L = F * L * cos ( φ - λ )
⇒ par n_cos(a-b) : cos(φ-λ) = cos φ * cos λ + sin φ * sin λ :
F * L = F * cos φ * L * cos φ + F * sin φ * L * sin λ    ⇔
par n_sinus et par n_cos(a)=x/R :
Forme algébrique :
F * L = Fx * Lx + Fy * Ly = (Fx, Fy) * (Lx, Ly)

Ces deux formes pourront être utilisées complémentairement pour résoudre certains problèmes. On peut ainsi démontrer le théorème de Pythagore à partir du produit d'un vecteur par lui même :
forme trigonométrique : a * a = ... = ||a||2
forme algébrique : a * a = ... = ax2 + ay2
⇒ ||a|| = √(ax2 + ay2)

Propriétés. On peut alors démontrer facilement les propriétés du produit scalaire :

  • commutatif : oui;
  • distributif : oui;
    a * ( b + c ) = ax * (bx + cx) + ay * (by + cy) = ...
  • associatif = non car le produit de trois vecteurs ne fait pas sens puisque le produit de deux vecteurs est un nombre.
  • pour la même raison (le produit de deux vecteurs est un nombre) on ne peut jamais diviser par un vecteur : ni un nombre ni un scalaire.
  • le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires vaut zéro (démonstration à partir de forme géométrique puisqu'il est question d'angles).
Vidéos clipedia :
.1. Les vecteurs : introduction
.2. Les vecteurs à deux dimensions : introduction
.3. La norme d'un vecteur
.4. Le produit scalaire
.5. Propriétés du produit scalaire
.6. On ne peut pas diviser par un vecteur

Équation de la droite

https://jortay.net/savoir-de-base#equation-droite

Nous allons montrer ici que l'on peut exprimer l'équation de la droite dans le plan sous deux formes (équivalentes) selon le type de contrainte imposée au vecteur "courant " r qui dessine la droite passant par le point de vecteur "position" p.

droite-forme-parametrique.png

Équation
paramétrique

L'équation paramétrique de la droite, exprimée en fonction de vecteurs :
r = p + λ * v
exprime un contrainte fondée sur un vecteur directeur v (parallèle à la droite) et un paramètre λ ∈ ℝ;
⇒ exprimée en fonction de composantes des vecteurs :
x = px + λ * vx
y = py + λ * vy

NB : si plutôt qu'un vecteur directeur v on utilise un second vecteur position p' par lequel doit passer la droite alors il faut remplacer vx par p'x - px et vy par p'y - py.

L'équation paramétrique de la droite exprimée en fonction des composantes des vecteurs permet ainsi à un ordinateur de tracer la droite, en faisant varier la valeur du paramètre λ, étant données les coordonnées du vecteur position p et du vecteur directeur v (ou d'un second vecteur position p').

Équation
cartésienne

En substituant λ entre les deux égalités de equation-droite-plan-param-composantes on pourra exprimer y et x en fonction l'un de l'autre, ce que constitue la forme cartésienne de la droite :
( x - px ) / vx = ( y - py ) / vy    ⇔
y = vy / vx * x + py - vy / vx * px
(NB : qui est de type y = a * x + b)
Mais cette forme n'est pas l'expression générale de l'équation cartésienne de la droite car elle ne permet pas d'exprimer la droite verticale : en effet dans ce cas la pente vy / vx est infinie ⇒ on peut avoir y = ∞ - ∞, qui est indéterminé. Pour contourner ce problème on multiplie les deux membres par vx ⇒ on obtient l'équation sous sa forme générale :
- vy * x + vx * y = - vy * px + vx * py
(NB : qui est de type a * x + b * y = c)
dont un cas remarquable est celui de la droite verticale dont l'équation est donc x=px.

La façon la plus simple de dessiner une droite à partir de son équation cartésienne a * x + b * y = c est de calculer le point ou les deux points d'intersection avec les axes X et Y : il suffit de poser x=0 et de calculer la valeur correspondante de y (=c/b), puis de poser y=0 et de calculer la valeur correspondante de x (=c/a).

droite-forme-vectorielle.png

Forme
vectorielle

On va maintenant développer une interprétation géométrique de l'équation cartésienne, sous forme vectorielle. Pour ce faire la contrainte imposée au vecteur "courant" r relativement au vecteur "position" p n'est plus le couple (paramètre λ, vecteur "directeur" v) mais un vecteur "normal" n (perpendiculaire à la droite) :
n * r = n * p    ⇔
n * r * cos(φ) = n * p * cos(θ)
soit un produit scalaire signifiant que p et r on la même projection sur n.

Enfin soient : n = (a, b), p = (px, py) et r = (x, y)
⇒ par n_F*L=Fx*Lx+Fy*Ly :
a * x + b * y = a * px + b * py

droite-formes-bouclage.png

L'on peut alors comparer n_a*x+b*y=a*px+b*py à n_-vy*x+vx*y=-vy*py+vx*py pour constater que les coordonnées du vecteur normal n = (a, b) ont remplacé les coordonnées (-vy, vx) ... qui sont bien celles du point déterminé par la rotation à 90° du vecteur directeur v !

La boucle est ainsi bouclée dans ce tour des différentes expressions de l'équation de la droite dans le plan.

Vidéos clipedia :
.1. Introduction à la géométrie analytique
.2. La droite dans le plan : équation paramétrique
.3. La droite dans le plan : équation cartésienne
.4. Equation cartésienne de la droite dans le plan : forme vectorielle

Produit vectoriel

https://jortay.net/savoir-de-base#produit-vectoriel
moment-de-force.png

La composante longitudinale n'intervient pas dans la force de torsion → c'est F*sin(θ) que le moment τ rapporte à r.

Soit un levier (en l'occurrence une clé) par rapport auquel est défini le moment de force (qui est un moment de torsion) τ = r * F * sin(θ)
r est la longueur du bras de levier, et F la force exercée sur ce bras.
Le moment de force exprime tout simplement la proportionnalité entre la force F*sin(θ) et le la longueur du levier : si je double celle-ci, je peux diminuer de moitié la force exercée sur lui (pour arriver au même résultat).

La règle de la main droite permet de déterminer dans quel sens la force est exercée (visser vs dévisser) : replier la main droite sur l'angle droit formé par l'axe et la composante perpendiculaire de la force appliquée sur l'axe, les doigts dans la direction de la force ⇒ le pouce indique la direction dans laquelle l'axe est vissé : ainsi dans le graphique ci-dessus on appuie vers le bas et on visse (ce qui est indiqué par le signe "plume de flèche" ⊗, la direction opposée étant indiquée par signe "pointe de flèche" ⊙) ;

produit-vectoriel.png

Sous forme vectorielle (et en considérant des vecteurs quelconques à origine commune) :
c = a x b = || a|| * || b|| * sin(θ) * 1
Le produit vectoriel se lit « a croix b ».
où :
1 convertit le nombre || a|| * || b|| * sin(θ) en vecteur;
indique que le signe de 1 est déterminé par la règle de la main droite.

N.B. Le produit vectoriel ne doit pas être confondu avec le produit scalaire : le premier est un vecteur tandis que le second est un nombre !

Propriétés :

  • commutatif : non, en raison de la règle de la main droite (NB : a x b peut se lire « produit scalaire de a vers b ») :
    a x b = - a x b
    en l'occurrence il s'agit donc d'anticommutativité
    a x a = 0 par n_||a→||*||b→||*sin(θ)*1→⊥ où θ=0.
  • associatif : non, ce que l'on démontre facilement à partir de ( a x a ) x b
  • distributif : oui.
produit-vectoriel-calcul.png

Règle de calcul. Grâce aux propriétés n_a→xa→=0 et de distributivité on va développer une règle de calcul du produit vectoriel. Une condition est que le référentiel orthonormé soit dextrogyre c-à-d tel que x x y = z ⇔ règle de la main droite : quand on ferme les doigts de la main de x vers y la direction indiquée par le pouce doit être celle de z ⇔ :

1x x 1y = 1z
1y x 1z = 1x
1z x 1x = 1y

Dès lors :
a x b = ( ax * 1x + ay * 1y + az * 1z ) x ( bx * 1x + by * 1y + bz * 1z )

Pour simplifier le calcul de cette distribution on va utiliser le déterminant de a x b :

a x b =  
1x 1y 1z
ax ay az
bx by bz


a x b = ( ay * bz - az * by ) * 1x - ( ax * bz - az * bx ) * 1y ( ax * by - ay * bx ) * 1z
NB : pour le croisement L1-C2 il faut multiplier 1y par -1

produit-vectoriel-interpretation.png

Interprétation géométrique. Le graphique ci-contre reprend celui illustrant c = a x b = || a|| * || b|| * sin(θ) * 1 n_||a→||*||b→||*sin(θ)*1→⊥, mais cette fois vu du haut. Il apparaît alors que le produit vectoriel correspond à la surface du parallélogramme construit sur les vecteurs a et b : a x b = Sab * 1Sab est donc le module du produit.

produit-mixte.png

Ensuite on introduit un troisième vecteur c dont on va faire le produit scalaire avec le produit vectoriel a x b ⇒ on obtient le produit mixte "a croix b fois c" :
( a x b ) * c = Sab * 1 * c = Sab * c * cos(φ) = Sab * h
qui est le volume du parallélépipède quelconque (non rectangle) du graphique ci-joint, dont la valeur se calcule à partir de n_prod-scal-det : ( a x b ) * c =

1x 1y 1z
ax ay az
bx by bz
* c =
cx cy cz
ax ay az
bx by bz

On démontre cette égalité en remplaçant le déterminant du premier membre par un vecteur quelconque u et en montrant que pour obtenir le produit scalaire de celui-ci avec c il suffit de remplacer les coordonnée de 1 par celles de c :

ux * cx + uy * cy + uz * cz
=
ux * 1x + uy * 1y + uz * 1z
*
cx * 1x + cy * 1y + cz * 1z
CQFD

( a x b ) * c = cx * ( ay * bz - az * by ) - cy * ( az * bx - ax * bz ) + cz * ( ax * by - ay * bx )

Vidéos clipedia :
.1. Le produit vectoriel, introduction
.2. Le produit vectoriel, propriétés
.3. Le produit vectoriel, règle de calcul
.4. Le produit vectoriel, interprétation géométrique et produit mixte

Cinématique : MRU et MRUA

https://jortay.net/savoir-de-base#cinematique

Mouvement rectiligne uniforme (MRU) :

La vitesse v est la distance xt - x0 parcourue durant le temps t :

v = ( xt - x0 ) / t     ⇔
xt = x0 + v * t    ⇔
xt - x0 = v * t    ⇒
xt - x0 est la surface en dessous de la droite vt = v0

MRU.png

NB : lorsque l'on dit que la distance parcourue est égale à la "surface" du rectangle vert on veut dire en fait que la distance parcourue (en m et non en m2 bien évidemment) est égale au produit de sa hauteur (en m/s) et de sa longueur (en sec.) de sorte que son unité est bien m/s*s=m.

Mouvement rectiligne uniforme accéléré (MRUA) :

L'accélération a est la vitesse vt - v0 acquise durant le temps t :

a = ( vt - v0 ) / t   ⇔   vt = v0 + a * t    ⇒
(NB : équation du 1° degré en t)
si on reprend l'interprétation géométrique constatée pour n_vitesse c-à-d que xt - x0 est la surface en dessous de la fonction vt (cf. graphique ci-dessous)    ⇒
xt - x0 = v0 * t + [ ( v0 + a * t - v0 ) * t ] / 2    ⇔
(où [ ( v0 + a * t - v0 ) * t ] / 2 est la moitié du rectangle au-dessus du rectangle vert )
xt - x0 = v0 * t + a * t2 / 2    ⇔
xt = x0 + v0 * t + a * t2 / 2    ⇔
(NB : équation du 2° degré en t)
xt = x0 + ( v0 + vt ) / 2 * t
(NB : équation du 1° degré en t)

MRUA.png
  • NB : on retrouve le MRU en posant a=0.
  • Nous verrons la démonstration mathématique du MRUA dans la section consacrée au calcul intégral.
  • L'analyse ci-dessus (cinématique) fait abstraction des masses qui caractérisent les corps, ainsi que les éventuelles forces qu'ils peuvent subir ou exercer en relation avec d'autres corps (cinétique).
Vidéos clipedia :
.1. Le mouvement : position et déplacement
.2. Le mouvement : fonction et graphe
.3. MRU : introduction
.4. MRU : généralisation
.5. MRUA : introduction
.6. MRUA : généralisation

Force et mouvement

https://jortay.net/savoir-de-base#force-mouvement

Le principe de relativité postule l'équivalence entre MRU et repos : ils constituent tous les deux un référentiel inertiel.

Accélération vs décélération sont relatifs comme le sont MRU vs repos.

Il est donc très proche du principe d'inertie, qui postule qu'il n'est pas besoin de subir une force pour être en mouvement.

Par contre la modification d'un mouvement ou du repos implique l'action d'une force. La loi de Newton exprime comment mesurer cette force. Exercer une force F c'est imprimer une accélération a au déplacement d'une masse m :
F = m * a

L'accélération exprime la progressivité dans la modification d'un mouvement.

La troisième loi de Newton énonce que toutes les forces apparaissent par couple de forces opposées :

  • soit l'accélération de pesanteur terrestre gT ≈ 9,8 mT/s2 ⇒ pour tenir/soulever dans ma main une masse de 1kg je dois exercer une force de 9,8 N, qui est le poids de cette masse c-à-d sa force d'inertie ;
  • le passager en apesanteur dans un véhicule spatial qui démarre (MRUA) donne l'impression d'être projeté contre la paroi arrière du véhicule, mais c'est en réalité celle-ci qui s'avance vers lui, jusqu'au moment où il est rattrapé, ce qui marque son passage d'un référentiel inertiel à celui que constitue le véhicule; à partir de ce moment le passager subit deux forces : la force motrice qui propulse le véhicule en avant, et la force d'inertie, opposée, qui le maintient contre la paroi jusqu'à ce que la vitesse devienne constante (MRU) moment à partir duquel il retourne en apesanteur (mais cette fois dans un référentiel qui n'est plus inertiel).
Vidéos clipedia :
.1. Principe de relativité
.2. Principe d'inertie
.3. Galilée
.4. Loi de Newton

Force et pression

https://jortay.net/savoir-de-base#force-pression

Pression = Force / Surface

Les vidéos de cette section sont essentiellement des applications des sections précédentes. Au niveau théorique le seul ajout notable est celui de la pression.

Vidéos clipedia :
.1. Principe d’Archimède
.2. La pression dans les solides
.3. La pression dans les liquides
.4. La pression atmosphérique : introduction
.5. Le principes de Pascal

Force et énergie

https://jortay.net/savoir-de-base#force-energie

Réaliser un travail W c'est exercer, durant un temps t, une force F sur une distance x :
W = F * x(t)
[W] = N * m = J

Dans n_travail x(t) est parfois notée plus simplement L (pour longueur).

Leviers. Le principe du levier – qui permet de démultiplier une force – est une application fondamentale de la notion de travail.

Le levier est un système mécanique caractérisé par trois points (cf. graphique infra) :

  • point d'appui (du levier) ;
  • point d'application de la force motrice FM sur le levier ;
  • point d'application de la force résistante FR (là où se situe la masse).
levier-inter-appui.png

Aux points d'application de FM et de FR correspondent les distances LM et LR, toutes deux mesurées par rapport au point d'appui.

On distingue divers types de levier :

  • inter-appui : le point central est le point d'appui (graphique ci-dessus)  ;
  • inter-résistant : le point central est le point de résistance (cas de la brouette) ;

La loi des leviers :
FM * LM = FR * LR
s'écrit plus simplement en l'exprimant comme l'égalité des moments de force n_τ=r*F*sin(θ) :
τM = - τR

Démonstration à partir du principe de conservation de l'énergie : il y a égalité entre d'une part le travail associé au déplacement dM du point d'application de la force motrice FM, et d'autre part le travail associé au déplacement correspondant dR du point d'application de la force résistante FR :
W = FM * dM = FR * dR
D'autre part on peut établir géométriquement la valeur du ratio de multiplication (r) en constatant la constance du rapport :
dM / LM = dR / LR
(cf. les deux triangles axés sur le point d'appui du levier)    ⇔
dM / dR = LM / LR = r
qu'il suffit alors de substituer dans l'égalité WM = WR pour obtenir n_loi-leviers
CQFD.

Énergie cinétique. Dans W = F * x(t) n_travail on substitue F = M * a n_F=m*a     ⇒
W = M * a * x(t)
où l'on substitue
a = v(t) / t n_a=v(t)/t
x(t) = v(t) * t / 2 n_xt=x0+(v0+vt)/2*t

W = M * v(t) / t * v(t) * t / 2     ⇔
W = M * v(t)2 / 2

Lorsque le travail s'arrête l'énergie dans laquelle il s'est transformé (principe de conservation) a atteint un niveau maximum ⇒ la vitesse devient constante : on est donc revenu au MRU, celui des planètes qui dans le vide ne sont pas soumises à des forces de frottement :

Ec = M * v2 / 2

Vidéos clipedia :
.1. Energie : introduction
.2. Le travail
.3. Les leviers
.5. Les poulies
.4. Le moment de force
.6. Energie cinétique : introduction
.7. Energie potentielle : introduction
.8. Formule de l'énergie cinétique

Gaz parfaits

https://jortay.net/savoir-de-base#gaz-parfait

La loi des gaz parfaits constitue la base de la thermodynamique. Au 19° siècle on avait découvert expérimentalement la loi des gaz parfaits :
P * V = N * kB * T
: à température constante si l'on diminue le volume alors la pression augmente. Afin de comprendre les mécanismes physiques de cette loi il faut prendre en compte la nature atomique (c-à-d non continue) de la matière.

piston.png

Étape 1

On étudie d'abord le cas simplifié d'un volume de gaz contenu dans un piston librement coulissant, et composé d'une seule particule en mouvement vertical d'allers-retours, et dont on connaît la masse et la vitesse. On veut alors identifier les conditions d'équilibre volumique de ce gaz, c-à-d telles que la force d'impact moyenne f̄ de cette particule contre le piston est égale au poids M * g de celui-ci. f̄ est donc une force imaginaire continue qui porte le piston comme si celui-ci reposait sur un socle (portage statique &asymp. portage dynamique) :
f̄ = M * g (troisième loi de Newton ou principe "d'action-réaction" : toutes les forces apparaissent par couple de forces opposées).
Vu que g est connu il reste à déterminer M.
Pour ce faire on recourt au principe selon lequel l'équilibre est caractérisé par la conservation des quantités de mouvement du piston (M*V) et du volume de gaz (m*v) :
M * V = m * v
M = m * v / V   ⇒ il reste à déterminer V.
Or, soit x la position verticale du piston, on peut considérer que l'équilibre est caractérisé par xt=0 dans
x = ( V * T ) - g / 2 * T2 n_xt=x0+v0*t V est la vitesse initiale du piston et T le temps mis par la particule pour faire un aller-retour     ⇔
V = g * T / 2  ⇒ il reste à déterminer T.
Or soit L la hauteur du volume de gaz :
v = 2 * L / T  ⇔  T = 2 * L / v   ⇒   substit. dans V :
V = g * L / v  ⇒  substit. dans M :
M = m * v2 / g / L  ⇔  M * g = m * v2 / L     ⇔
f̄ = m * v2 / L
f̄ est ainsi déterminé puisque l'on connaît m, v et L. En outre on s'est affranchi de g dans son expression. On est alors en mesure de faire le lien avec la loi expérimentale grâce à Ec = m * v2 / 2 n_energie-cinetique que l'on substitue dans n_f=m*v2/L    ⇒
f̄ * L = 2 * Ec     ⇒
Soit S la surface supérieure du cylindre :
( f̄ / S ) * ( L * S ) = 2 * Ec     ⇔
P * V = 2 * Ec qu'en comparant avec
P * V = N * kB * T on pourrait qualifier de "loi des gaz parfaits à une particule". Il nous reste donc à généraliser au cas de N particules.

Étape 2

On va maintenant étendre l'analyse au cas de N particules de vitesse d'angles quelconques. Nous raisonnons alors dans le cadre d'un gaz à l'équilibre tel que la force d'impact moyenne f̄ de ses particules contre chacune de ses parois est égale à la force de réaction exercée par celles-ci.

Pour ce faire on va considérer que le gaz est parfait c-à-d que ses particules n'interagissent pas, ce qui requiert :

  • de les considérer comme de simples "masses ponctuelles" c-à-d de volume nul, de sorte que leur taille étant sans commune mesure avec la distance caractéristique qui les sépare elles ne se rencontrent jamais (il n'y a donc pas d'interactions entre elles) ; on dit alors que le gaz qu'elles forment est "dilué" c-à-d que sa pression est faible ;
  • que sa température ne soit pas trop basse, sans quoi il y aura des agrégats de particules c-à-d des interactions entre elles (et il ne s'agit alors plus d'un gaz parfait).

La particule étant ponctuelle on peut considérer sa vitesse non plus comme un scalaire mais comme un vecteur, ce qui permet de considérer des vitesses d'angles quelconques.
ft = m * dv/dt    ⇔
ft = m * (dvx/dt * 1x + dvy/dt * 1y + dvz/dt * 1z)    ⇒
Mais comme d'autre part on suppose l'absence de frottement avec les parois ainsi que dans le volume, il n'y a que la composante en x de la vitesse (vx) qui change (lors du contact avec la paroi) :
ft = m * dvx/dt * 1x   ⇔
ft, force d'impact moyenne d'une particule d'inclinaison quelconque, est orientée perpendiculairement à la paroi qui subit le choc.

Dans l'étape théorique suivante les forces d'impact exercées par les N particules sur la paroi sont sommées en une force unique :
F = ∑ f̄n ⇒ par n_f=m*v2/L :
F = ∑ m * v2nx / L    ⇔
F = N * m / L * ∑ vnx2 / N    ⇔
F = N * m / L * < vx2 >
où < vx2 > est la moyenne "d'ensemble" (tandis que f̄ est une moyenne "temporelle") des vitesses en x.

Ensuite en raison de la distribution isotrope des vitesses (aucune des directions donc aucune des composantes de la vitesse n'est privilégiée puisqu'on se situe dans le vide) on a que le module
< v2 > = 3 * < vx2 >     ⇒
F = N * m / L * < v2 > / 3     ⇔ (en divisant par la surface S de la paroi supérieure)
P = N * m / V * < v2 > / 3     ⇔
P V = N * m * < v2 > / 3     ⇒
si l'on compare avec l'égalité expérimentale
P * V = N * kB * T
on en déduit que
m * < v2 > / 3 = kB * T    ⇒
2 * < m *v2 / 2 > / 3 = kB * T
Or Ec = m * v2 / 2 n_energie-cinetique    ⇒
T = 2/3 * < Ec > / kB
où < Ec > est l'énergie cinétique moyenne par particule de gaz.

On comprend alors physiquement ce qu'est la température. On comprend en particulier pourquoi la température la plus basse qui puisse exister – le zéro absolu – est celle d'un gaz parfait dont l'énergie cinétique est nulle, niveau le plus bas que l'énergie cinétique puisse atteindre. On comprend également qu'en apportant de la chaleur à un gaz on augmente son énergie cinétique.

Vidéos clipedia :
.1. La théorie cinétique des gaz parfaits, introduction
.2. La théorie cinétique des gaz parfaits

Atomes

https://jortay.net/savoir-de-base#atomes
Principes

Un atome est une particule élémentaire de matière. On a recensé à ce jour 116 types d'atomes ("éléments"). Ils sont classés dans le tableau des éléments (cf. infra). On les représente physiquement sous forme d'une sphère (modèle atomique).

Nous verrons plus loin la différence entre "atome" et "élément" au travers de la notion d'atome isotope.

La taille d'un atome varie de 0,25 à 3 Å (un ångström vaut cent picomètres et 1 pm = 10 -10 m) selon le type de matière (hydrogène, carbone, etc). Ainsi la taille d'un atome (ordre de 10-10 m) par rapport à un pamplemousse est du même ordre de grandeur que la taille d'une sphère de 1cm de diamètre par rapport à la Terre.

Les atomes ne se distinguent pas que par leur taille, mais aussi (et surtout) par leur structure.

Dans le modèle atomique l'atome est composé de particules (dites "subatomiques") :

  • un noyau, composé de deux types de "nucléons" :
    • protons :
      • charge électrique individuelle positive (1,602.10 -19 C = charge +1);

        Le coulomb est la charge électrique (la quantité d'électricité) traversant une section d'un conducteur parcouru par un courant d'intensité de un ampère pendant une seconde (1 C = 1 A*s).

      • masse individuelle = 1,673.10 -27 kg.
    • neutrons
      • sans charge électrique;
      • masse individuelle = 1,675.10 -27 kg.
  • d'un nuage entourant le noyau et composé d'électrons, qui sont des particules :
    • chargées négativement (charge -1);
    • de masse individuelle = 9,109.10 -31 kg soit 1838 fois moins lourde qu'un nucléon de sorte qu'elle est souvent ignorée dans les calculs des chimistes (et comme les électrons sont environ deux fois moins nombreux que les nucléons il en résulte que le noyau est environ 4.000 fois plus lourd que son nuage).

Quel que soit le type d'atome, les protons ont donc la même masse, de même que les neutrons.

Comme d'autre part la masse d'un proton est très proche de celle d'un neutron, on a simplifié la mesure en posant que la masse d'un nucléon (proton ou neutron) vaut une "unité de masse atomique" (u ou u.m.a.). Pour déterminer la valeur de cette u.m.a. on a choisi comme référentiel l'atome isotope 12C. Comme celui-ci comporte 12 nucléons on a donc que l'u.m.a. vaut un douzième de la masse de 12C soit 1,66 * 10 -27 kg :
1 u.m.a. = m12C / 12 = 1,66 * 10 -27 kg

Le tableau suivant résume et simplifie ces propriétés des particules subatomiques.

Propriétés des particules subatomiques

ChargeMasse
p ++11
n 001
e --1négligeable

On notera que la masse d'un atome est donc concentrée dans le noyau (99,97%), tandis que sa charge est répartie, entre protons du noyau et nuage électronique. La concentration de masse est encore plus impressionnante lorsque l'on se rend compte que le rapport entre la taille du noyau et celle de l'atome est équivalent à celui entre la tête d'une fourmi et un terrain de football (ordre de grandeur du rapport : 1/100.000).

Taille (ordre de grandeur)

Atome10-10 m
Noyau10-15 m

Mais ce qui caractérise essentiellement un élément c'est le nombre de protons qu'il contient (NB : c'est un nombre entier), appelé numéro atomique (l'élément X de numéro atomique Z étant noté ZX). NB : la matière est généralement neutre c-à-d que la charge électrique d'un atome est nulle ⇒ Z indique donc également le nombre d'électrons.

Quant au nombre de nucléons (protons et neutrons) on l'appelle nombre de masse (noté A) ⇔ la masse d'un atome (masse atomique) vaut A u.m.a. (ainsi le rapport masse atomique / nombre de masse vaut exactement 1 pour 12C et est très proche de 1 pour tous les autres atomes).

Tableau
périodique

Dans chaque case du tableau des éléments (cf. ci-dessous) le chiffre situé au-dessus du symbole de l'élément est son numéro atomique tandis que le nombre situé en dessous du symbole est la masse atomique. Le tableau "périodique" peut se lire notamment de gauche à droite c-à-d dans l'ordre des numéros atomiques. Les "périodes" sont les lignes, tandis qu'à chaque colonne est attribué un numéro de groupe (ainsi par exemple les éléments du groupe IA réagissent de façon assez semblable aux élément du groupe IB). Les dix familles d'éléments sont ainsi regroupées par couleurs.

tableau-periodique.png

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L'atome d'hydrogène est le premier élément du tableau périodique (cf. infra) : c'est l'atome le plus petit, simple et léger : il est composé d'un seul proton, d'un seul électron et ne possède pas de neutron.

Description succincte des familles d'éléments :

  1. métaux alcalins (Li, Na, K, Rb, Cs, Fr) : réagissent fortement avec l'oxygène de l'air et de l'eau;
  2. halogènes (F, Cl, Br, I) : gaz diatomiques, et toxiques car il réagissent fortement (avec notamment les métaux alcalins);
  3. alcalino-terreux (Be, Mg, Ca, Sr, Ba, Ra) : il font les mêmes types de composés que les alcalins mais avec des taux de combinaison doubles;
  4. métaux de transition (Ti, Cr, Fe, Ni, Cu, Zn, Ag, Pt (catalyseur), Cd, Au, ...) : solides, conducteurs, ductiles, à haute température de fusion/ébullition, combinables entre eux (alliages), composables avec les non-métaux (oxydes, chlorures, sulfates, ...) en proportions diverses (exemple d'oxydes de fer : FeO, Fe2O3, F3O4) ;
  5. gaz nobles ou rares, inertes (He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn) : monoatomiques, très peu réactifs (ce qui en fait de bon gaz parfaits) --> ils forment peu de composés (d'où leur nom de inertes ou nobles);
  6. non métaux (C, H, O, N, P, S) : jouent un rôle déterminant dans le métabolisme des organismes vivants, légers (faible masse atomique), combinables (acides aminés – Ala, Tyr, ... – constituant les protéines, molécules de phospholipides constituant les membranes cellulaires, molécules d'ADN, ...);
  7. métalloïdes (B, Si, Ge, As, Sb, Te, At) : moins bons conducteurs que les métaux (⇒ utilisés pour fabriquer des semi-conducteurs, transistors et circuits intégrés);
  8. métaux pauvres (Al, Ga, Sn, Pb, ...);
  9. lanthanides ou "terres rares" (La, Pr, Nd, ...);
  10. actinides (U, Pu, Md, ...) : les plus lourds, matières premières des centrales nucléaires.

Les éléments récemment découverts sont les plus lourds : ils contiennent le plus grand nombre de protons. Découvrir de nouveaux éléments requiert de plus en plus d'énergie ⇒ au fur et à mesure que nous pourrons mobiliser de plus grandes quantités d'énergie grâce au progrès technologique découvrirons-nous sans fin de nouveaux éléments ?

Vidéos clipedia :
.1. Atomes
.2. Tableau périodique

Réaction chimique, mole

https://jortay.net/savoir-de-base#reaction-chimique

Il est théoriquement possible de transmuter la matière, par exemple le plomb (82Pb) en or (79Au) : pour cela il suffit d'enlever 82-79=3 protons à chaque atome de plomb. Cependant cela requiert tellement d'énergie que dans l'état actuel des technologies la transmutation est plus coûteuse que l'extraction. Cette anecdote est l'occasion de préciser que dès qu'on entre dans l'ingénierie nucléaire on sort du domaine de la chime pour entrer dans celui de la physique nucléaire. Le champs d'action de la chimie se situe plutôt au niveau du nuage électronique : une réaction chimique consiste en l'échange d'électrons entre atomes.

Une réaction chimique est un phénomène de transformation de la matière, que l'on observe dans certains cas lorsque l'on mélange des substances. Les composants se transforment ainsi en un ou plusieurs composants d'une autre nature (c-à-d avec des propriétés physico-chimiques différentes), cela tout en conservant la quantité de matière (cf. premier et second principes de la thermodynamique). Les réactions chimiques se distinguent notamment par leur intensité (on utilise parfois le terme de "violence") : ainsi par exemple lorsque l'on jette un morceau de sodium dans un récipient contenant de l'eau, le morceau de sodium se met à bouger en dégageant de la fumée, puis il brûle et enfin explose.

Autres exemples. Les organismes vivants sont le lieu de nombreuses et permanentes réactions chimiques, qui déterminent le métabolisme de ces organismes. Par exemple lorsque qu'un organisme se nourrit d'aliments ceux-ci réagissent avec l'oxygène de l'air et produisent ainsi de l'énergie (cf. respiration). Les réactions chimiques sont utilisée abondamment dans l'industrie, notamment pour produire des métaux à partir de minerais, ou des polymères (matières plastiques telles que le nylon). Les réactions chimiques sont également utilisée dans les stations d'épuration. Elles se produisent aussi à chaque fois que nous cuisinons (cf. réaction de maillard)

Revenons à la réaction de la vidéo, et écrivons son équation chimique :

Réactifs --> Produits
Na + H2O --> NaOH + H2

On constate que l'atome de Na prend la place d'un des deux atomes de H, qui est éjecté, ce qui produit une molécule d'hydroxyde de sodium et une molécule de dihydrogène (gaz). Cependant l'équation ci-dessus n'est pas correcte car le principe de conservation n'est pas respecté : on a plus d'atomes de H en produits qu'en réactifs ⇒ il faut diviser la molécule de dioxygène par 2 :

Na + H2O --> NaOH + 1/2 * H2

mais comme dans la réalité il n'existe pas de "demi-molécule" il faut alors multiplier les deux membres par 2 afin d'équilibrer correctement l'équation :

2Na + 2H2O --> 2NaOH + H2

reaction-chimique.jpg
Mole

Les nombres situés à gauche des réactifs et produits sont appelés "coefficients stœchiométriques". Ils permettent de faire de la chimie quantitative. Celle-ci repose sur la notion de mole, qui permet d'établir un lien direct entre la masse d'une substance et le nombre de molécules qui la constituent, ce qui permet de quantifier correctement les réactifs d'une réaction données.

Pour définir la mole revenons à la notion de masse atomique. Nous avons vu que la masse d'un atome est représentée à plus de 99% par celle du noyau. Par conséquent la masse d'un atome vaut approximativement le produit du nombre de nucléons (Nu) par la masse d'un nucléon (mu) : matome ≈ mnoyau = Nu * mu.

mu = 1 u.m.a. = m12C / 12 = 1,66 * 10 -27 kg n_u.m.a..

Ce raisonnement vaut évidemment pour des molécules : par exemple mH2O ≈ Nu * mu que par convention on écrit mH2O = Nu * mu

Or il y a trois siècles le physicien et chimiste turinois Avogadro montra que 1g de n'importe quelle matière (par exemple le volume d'eau d'un dé à coudre) contient un nombre gigantesque de nucléons : 602.000 milliards de milliards ! C'est le nombre d'Avogadro :
NA = 6,022 * 1023.

Si un nucléon avait la taille d'une bille de 1cm de diamètre, NA nucléons rempliraient un cube dont l'arrête ferait 850km c-à-d que chaque face de ce cube aurait approximativement la taille de la France (PS : l'atmosphère s'arrête à environ 100km d'altitude ...).

Par définition une mole de nucléons c'est NA nucléons, donc par n_avogadro une mole de nucléons pèse 1g, ou encore 1g de n'importe quelle matière contient 1 mole de nucléons : NA * mu = 1g.

On a bien que mu = 1g / NA = 1g / ( 6,022 * 1023 ) = 1,66 * 10 -27 kg = 1 u.m.a. ⇔ mu ≡ u.m.a. n_u.m.a.

Que pèse une mole d'atome de carbone (par exemple) ?
Sachant que Nu*mu appliquée au carbone donne :
mC = 12 * mu
⇒ en substituant mu dans n_mole :
NA * mC = 12g

Ce raisonnement peut être appliqué à n'importe quel atome, en consultant le #tableau-periodique : soit un élément X de numéro atomique A, on défini sa masse molaire par :
NA * mX

On généralise au cas de n'importe quelle molécule en partant de l'application de Nu*mu à par exemple H2O :
mH2O = Nu * mu    ⇔
NA * mH2O = Nu * NA * mu    ⇔
NA * mH2O = Nu * 1g    ⇔
NA * mH2O = Nu g    ⇔
Masse molaire : M = Nu g

Molécule vs mole. Ainsi :

  • une molécule de H2O pèse Nu u.m.a.Nu est le total des nombre de masse associés à la molécule  ;
  • une mole de H2O pèse Nu g ;
  • ⇔ une mole de H2O contient bien Nu g / ( Nu u.m.a. ) = g / u.m.a. = NA molécules de H2O.

Appliquons maintenant la notion de mole à notre équation chimique supra :

- NA * mNa = 23g : une mole de Na pèse environ 23g;
- NA * mH2O = 18g : une mole de H2O pèse 2*1+16=18g
- NA * mNaOH = 40g : une mole de NaOH pèse 23+16+1=40g
- NA * mH2 = 2g : une mole de H2 pèse 2*1=2g

On peut associer coefficients stœchiométriques et nombre de moles d'une réaction :

2Na+2H2O2NaOH+H2
⇒ en multipliant les deux membres par NA :
2 moles Na+2 moles H2O2 moles NaOH+1 mole O2

Ne pas confondre Na (sodium) et NA (nombre d'Avogadro).

De sorte qu'à partir de n'importe quelle quantité de Na (par exemple 46g) on peut alors déterminer celles des autres réactifs et produits correspondant à l'équation.

2Na+2H2O2NaOH+H2
2 moles Na+2 moles H2O2 moles NaOH+1 mole O2
46g+36g80g+2g

On constate que 46+36=80+2. Ainsi la masse de matière est conservée (tout comme le nombre d'atomes).

On peut également déduire que :
18g de H2O contient 1 mole de H2O    ⇒
1g de H2O contient 1/18 mole de H2O = 0,055 mole de H2O = 0,055 * NA molécules de H2O.

Réaction
et énergie

Dans cette réaction ce n'est pas le sodium "qui a brûlé" (cf. vidéo) : la réaction produit du dihydrogène H2 qui réagit à son tour avec l'oxygène de l'atmosphère, en provoquant ainsi une réaction de combustion. Cette réaction chimique est donc associée à un dégagement d'énergie sous forme de chaleur, on parle alors de réaction exothermique :

2H2+O2-->2H2O (+ énergie)

La réaction de combustion peut prendre des formes très subtiles telles que la respiration évoquée plus haut.

molecule-H2O.png

Dans une molécule chaque liaison entre atomes se fait par mise en commun d'un électron. Chaque liaison, ou plus exactement chaque électron de la liaison peut-être vu comme détenteur d'une sorte d'énergie potentielle. Ainsi par exemple dans la réaction de synthèse de l'eau, une molécule de dihydrogène vient briser le lien qui unit les deux atomes du dioxyde, cela libère une énergie qui propulse la molécule de H2O synthétisée. La réaction de combustion correspond à une émission d'énergie (thermique et mécanique), de sorte que le produit d'une réaction exothermique correspond à un état énergétique inférieur à celui des réactifs, en vertu du principe de conservation.

Le graphique ci-dessous représente l'évolution du bilan énergétique d'une réaction. On voit que le pic correspondant à l'énergie d'activation peut-être abaissé, grâce à un catalyseur. Par exemple en ajoutant de la mousse de platine aux réactifs H2 et O2 on pourra déclencher la réaction avec seulement une échauffement plutôt qu'une explosion (la réaction est donc plus lente).

Réaction exothermique

reaction-exothermique.png

Notons qu'il n'y a pas de lien entre produit de la réaction et dynamique énergétique. Ainsi la glace qui fond est une réaction endothermique.

Réaction endothermique

reaction-endothermique.png

À noter également qu'il ne suffit pas toujours de mélanger des réactifs pour que la réaction se déclenche. Un apport d'énergie (électricité dans l'eau, flamme dans l'air, ...) peut être nécessaire : c'est l'énergie d'activation.

electrolyse-eau.png

Électrolyse de l'eau

On peut ainsi inverser le raisonnement illustré par le graphique énergétique ci-dessus : en fournissant de l'énergie on pourra provoquer une réaction chimique en ses inverse c-à-d produire du H2 et du O2 à partir de H2O. C'est ce qu'on appelle l'électrolyse de l'eau, qui est une réaction endothermique :

2H2O (+ énergie)-->2H2+O2

Le schéma ci-contre montre que le volume de gaz produit dans la colonne de droite est le double de celui de la colonne de gauche, ce qui correspond bien au rapport des coefficients stoechométriques du membre de droite : la réaction produit deux fois plus de molécules de H2 que de O2.

Dynamique

On voit que les réactions chimique se distinguent notament par leur vitesse : dans une explosion la réaction est quasiment immédiate tandis que dans d'autres phénomènes elle est beaucoup plus lente (par exemple la rouille sur un métal).

Cette observation nous conduit à la question : quel est le mécanisme d'une réaction chimique ? La dynamique du modèle atomique n'est pas immobile : les électrons tournent autour du noyau. Mais contrairement à la dynamique astronomique ces mouvements semblent chaotiques (aléatoires) de sorte qu'on ne parle pas d'orbite mais de probabilité de présence.

Une réaction chimique consiste dans la mise en commun d'électrons, ce qui requiert des chocs entre les atomes des réactifs (dans le cas de la dernière équation supra il faut que trois molécules se rencontrent : deux de H2 et une de O2). Or la probabilité de ces chocs diminue avec le nombre d'atome par unité volumique (concentration, pression) ainsi qu'avec l'agitation de ces atomes (liée à, et donc mesurée par la température). D'autre part on pourrait penser qu'une réaction chimique requiert également un positionnement ad hoc des atomes, ainsi qu'une mobilisation efficace de l'énergie nécessaire. Mais comme tout cela cela est statistiquement peu probable de se produire simultanément il faut donc trouver une autre explication. C'est ce qu'ont fait les prix Nobel de chimie 1956 Hinshelwood & Semenov. Dans leur théorie les molécules sont d'abord cassées en leur "radicaux libres" qui, ayant un nombre impair et donc un électron "isolé", vont réagir fortement avec les autres réactifs (avec nouvelles productions de radicaux), provoquant de complexes réactions en chaînes ⇒ l'explosion de la vidéo.

On peut ainsi distinguer :

  • thermodynamique chimique ⇔ notion d'énergie ⇔ dans quel sens se produit la réaction ?
  • cinétique chimique ⇔ notion de vitesse de réaction ⇔ pas de réaction < réaction modérée < explosion.
Vidéos clipedia :
.1. Réactions chimiques : introduction
.2. Mole
.3. Mole : illustration
.4. Réactions chimiques : pourquoi, comment

Masse et débit volumiques

https://jortay.net/savoir-de-base#masse-debit-volumiques
Masse
volumique

La masse volumique ρ est la masse par unité de volume :
ρ = M / V
Ainsi la masse volumique du bois de pin (0,45 kg/dm3) est inférieure à la masse volumique de l'eau (1 kg/dm3 = 1 g/cm3 = 1 t/m3... par convention !). Grâce au tableau périodique la comparaison de la masse volumique de l'aluminium et du plomb permet de donner l'explication atomique de la masse volumique. Ainsi le noyau du plomb contient dix fois plus de nucléons (270/27). Ce rapport est supérieur à celui des masses volumiques(11,4/2,7≈4,2) car les atomes de plomb sont plus volumineux.

De même la masse volumique de l'eau est inférieure à celle de l'aluminium car les molécules qui la composent sont plus volumineuses que les atomes d'Al tout en ayant moins de nucléons.

Maintenant comparons l'air à l'eau. L'air est composé de molécules d'oxygène (O2) et d'azote (N2) qui contiennent respectivement 32 et 28 nucléons (cf. tableau périodique). Pourtant l'air est manifestement plus léger que l'eau (sa masse volumique est inférieure : 1,3 g/dm3). La raison en est que les molécules d'oxygène et d'azote ne sont pas compactes (pas liées par des forces électriques) ⇔ il y en a moins par unité de volume. En effet l'air est un gaz.

La masse volumique est sensible à l'hétérogénéité du matériaux (exemple masse volumique de l'emmental) --> dans ce cas la masse volumique doit être considérée comme une grandeur moyenne. À l'extrême la masse volumique d'une machine n'a pas beaucoup de sens.

Enfin la masse volumique ne doit pas être confondue avec la densité, qui est, pour un même volume, le rapport entre la masse du matériaux et celle d'un matériaux de référence. Les volumes étant identiques la densité est donc le rapport des masse volumiques.

Débit
volumique

Il importe de distinguer débit volumique DV = V / t et débit massique DM = M / t. Rappelons à cet égard qu'un litre représente un volume de 1.000 cm3 soit le volume d'un cube d'arrête de 10cm (⇒ 1 ml = 1 cm3), et qu'un litre d'eau pèse 1kg.

Une autre façon, tout aussi intuitive, de formuler le débit volumique est :
DV = S * v
S est la surface de la section du conduit, et v la vitesse du fluide dans ce conduit.

Démonstration :
DV = V / t =
S * L / t =
par définition de la vitesse v = L / t
S * v * t / t =
S * v
CQFD

Quant à la masse du débit massique on peut la calculer à partir de la masse volumique ρ :
DM = M / t = ρ * V / t.

⇒ on peut alors démontrer que DM = ρ * DV :
DM = ρ * V / t =
ρ * S * L / t =
ρ * S * v =
par n_debit-volumique :
ρ * DV
CQFD

N.B. On notera le lien intuitif entre M = ρ * V et DM = ρ * DV

Vidéos clipedia :
.1. La masse volumique
.2. Mesure et calcul de débits

Électricité

https://jortay.net/savoir-de-base#electricite

Algèbre de l'électricité. Lors du big bang, des neutrons – particules élémentaires instables par nature – se sont transformés en protons, particules élémentaires liées à des électrons par une force dite électrique. Cette force est, sous certains aspects, comparable à la force de gravitation (qui existe entre tous les corps, particules ou planètes)) : réciprocité entre les deux corps, fonction de la distance entre ceux-ci. Mais elle est aussi beaucoup plus forte (facteur 1040) et plus complexe : la force électrique entre particules semblables (protons ou électrons) est répulsive, alors qu'elle est attractive entre proton et électron. Pour modéliser mathématiquement ces propriétés on a convenu que le proton est de charge positive tandis que l'électron est de charge négative, le signe - correspondant à l'attraction et le + à la répulsion. Cette convention de signes permet l'utilisation d'une "algèbre de l'électricité" : - * + = - ; - * - = + ; + * + = +.

Les forces électrique (attractive) et gravitationnelle, en combinaison avec une force centrifuge, provoquent un mouvement orbital (à une vitesse beaucoup plus grande dans le cas de l'électron que de la lune, de l'ordre du millions de m/s).

Lorsqu'un proton et un électron se rencontrent deux options sont possibles : soit ils forme un neutron, soit ils forment un atome d'hydrogène (le plus simple des atomes : 1 proton et 1 électron).

Au-delà d'une certaine distance séparant deux atomes d'hydrogène, ceux-ci alors sont soumis à une force globale nulle (les forces d'attraction et répulsion des protons et électrons s'annulant).

molecule-hydrogene.png

Molécule d'hydrogène, composée de deux atomes d'hydrogène, donc de deux protons (en rouge) et deux électrons (en bleu).

Par contre en dessous de cette distance les forces d'attraction l'emportent sur les forces de répulsion ⇒ formation d'une molécule de (di)hydrogène. Dans le graphique ci-contre les vecteurs d'attraction (donc entre particules de signes différents) sont plus longs que les vecteurs de répulsion (entre particules de même signe), et la force d'attraction résultante est compensée par la force centrifuge du mouvement orbital des électrons.

À l'échelle supérieure des interactions inter-moléculaires il existe une force d'attraction entre molécules d'hydrogène, mais elle est faible de sorte que, dans les conditions physico-chimique de la surface de la Terre, des molécules de H2 qui entrent en collision ne provoquent généralement pas de réaction chimique, ce qui fait de H2 un gaz (molécules indépendantes l'une de l'autre).

Plasma. Les étoiles sont originellement des amas de gaz H2 dont la masse est tellement élevée que la force gravitationnelle devient supérieure aux forces électriques qui structurent chaque molécule de H2, de sorte que ces molécules sont brisées en protons et électrons. Cette "soupe" est appelée "plasma". Les mouvements de ces particules y sont permanents. Des neutrons sont alors formés par la rencontre de protons avec des électrons, et quand un neutron rencontre un proton on obtient un corps stable. Lorsque ceux-ci collisionnent entre eux on obtient des corps à deux protons et deux neutrons où les neutrons jouent le rôle de "colle" entre les protons, qui est la force nucléaire ou "interaction forte", beaucoup plus forte que la force électrique qui repousse les deux protons entre eux. À la surface de ces immenses corps qu'est l'étoile la force gravitationnelle est nettement plus faible (idem pour la pression et la température, cette dernière n'étant plus de quelques milliers de degrés) de sorte qu'elle redevient inférieure aux forces d'attraction électriques ⇒ des orbites électroniques apparaissent autour de ces corpuscules, formant ainsi des atomes d'hélium (qui diffèrent des atomes d'hydrogène en ce qu'ils possèdent des neutrons, de sorte que les protons sont liés).

etoile-usine.png

Neutrons en gris et protons en rouge. L'image ne peut représenter tous les nucléons (protons et neutrons) ainsi on peut constater dans le tableau périodique que l'atome d'oxygène contient 8 protons et l'atome de Na en contient 11. Les étoiles sont donc des "fabriques à atomes".

Par le même phénomène apparaissent tous les autres atomes repris dans le tableau périodique : des corps stables contenant des quantités différentes de protons et neutrons sont formés selon le même procédé que pour l'hélium, le nombre d'électrons (signe -) apparaissant étant égal à celui des protons (signe +). Ces électrons sont positionnés en couches composées de 2 électrons pour la première (la plus proche du noyau) et 8 par couche supplémentaire, sauf la dernière qui contient un nombre d'électrons inférieur ou égal à huit.

Ions. Si l'on prend par exemple deux atomes Na et Cl on constate que la dernière couche du Na ne contient que 11-2-8=1 électron et va avoir tendance à le perdre lorsqu'il rentre en contact avec un atome tel que Cl dont la couche extérieure contient 17-2-8=7 électrons (notion d'affinité électronique qui est fonction du nombre d'électrons en couche externe et de la distance entre celle-ci et le noyau). L'atome Na devient donc un ion Na+ tandis que l'atome Cl devient un ion Cl- (un atome est neutre tandis qu'un ion a une charge électrique non neutre). Étant de signes opposés ces ions Na+ et Cl- vont alors s'attirer et former des amas à structure symétrique que l'on appelle des cristaux (exemple le sel NaCl). Cette dynamique est complexe puisqu'elle opère autant au niveau des atomes que des molécules et des composés de molécules ...

H2O.png

H2O : interaction intra-moléculaire.

D'autre part on comparera utilement la formation de la molécule de NaCl avec celle de H2O. Dans ce dernier cas il n'y a pas transfert mais mise en commun d'électrons de deux atomes d'H avec une atome d'O de sorte que la dernière couche d'O (8-2=6) est complétée.


liquide.png

H2O : interaction inter-moléculaire.

Au niveau de leurs interactions inter-moléculaires on peut donc voir les molécules d'eau comme composées d'un ion O2- et de deux ions H+, de sorte que des amas de molécules de H2O vont se former en raison des forces d'attraction électriques intermoléculaires H+O2-. Celles-ci sont faibles en comparaison avec les forces d'attraction électriques intra-atomiques, de sorte que ces amas de molécules sont relativement instables. On les appelle des liquides.

Dans le cas de la molécule de silice SiO2 la force d'attraction intermoléculaire est beaucoup plus forte, il s'agit d'un solide, qui le sera d'autant plus si dans les interstices viennent s'imbriquer des atomes de calcium, formant ainsi des silicates (roches, grains de sables, ...).

Les mêmes interactions électriques sont à la base des molécules organiques, composées de C, O, H, N, ..., telles que l'ADN, molécule composée de milliards d'atomes, et contenant le code génétique des organismes vivants. Le nombre de combinaisons possibles est quasiment infini.

Enin les phospholipides sont des molécules en forme de "tête" avec deux "queues", celles-ci forment des chaînes avec d'autres molécules de phospholipides, constituant ainsi les membranes cellulaires. Les têtes peuvent s'emboîter les unes avec les autres, formant ainsi des êtres pluricellulaires. Tout cela par l'effet des forces d'attraction électriques.

La force électrique est donc à la base de la vie.

Applications
macroscopiques
Nous venons d'évoquer les mécanismes microscopiques de l'électricité. Ce phénomène peut être facilement observé à l'échelle humaine en frottant un objet de cuivre (forte affinité aux électrons c-à-d forte propension à les attirer) avec un chiffon de coton (faible affinité), ce qui va provoquer un transfert d'électrons du chiffon vers le cuivre. Le premier étant ainsi chargé positivement (puisqu'il a perdu des électrons à partir d'une situation de charge neutre) et le second négativement (puisqu'il a gagné ces électrons à partir d'une situation de charge neutre) une force d'attraction apparaît entre les deux au point que le chiffon peut rester collé à l'objet de cuivre. Ce phénomène est appelé "électrisation".

Ce bloc de cuivre forme un réseau cristallin, comme le NaCl mais avec cette différence que ce réseau "cuivre" est formé par la mise en commun des électrons périphériques plutôt que par transfert d'électrons. L'agglomération d'atomes de Cu correspond à une libération des électrons périphériques qui jouent alors le rôle de colle entre les atomes de Cu. Si le nombre de ces électrons de cohésion devient très élevé alors les forces de répulsion entre eux peuvent avoir pour effet d'éjecter des électrons ("claquage électrique" formant un "arc électrique" communément appelé "éclair"). Ainsi le cuivre est dit "bon conducteur".

La notion de courant électrique apparaît ainsi, que l'on peut maîtriser et donc exploiter au moyen de diverses technologies :

  • en faisant passer un flux d'électron ("courant électrique") au travers d'un fil de cuivre, ces électrons bousculent les atomes de cuivres provoquant ainsi leur mouvement, ce qui génère de la chaleur (radiateur électrique) ; au-delà d'une certaine température le fil de cuivre va émettre de la lumière (ampoule électrique) ;
  • une centrale électrique peut créer du courant électrique grâce à une propriété importante des aimants : quand des électrons passent dans le champ magnétique généré par un aimant leur trajectoire est déviée par une force magnétique perpendiculaire (électromagnétisme) ;
  • dans une antenne des oscillations d'électrons sont entretenues sur sa longueur ⇒ via les forces de répulsion entre électrons de deux antennes distantes les mouvements au sein d'une antenne sont transmis à l'autre (NB : similitude avec le principe du levier) ⇒ on peut donc transmettre des forces électriques et donc des informations via ces ondes électriques.
Loi de
Coulomb

La loi de Coulomb décrit la force électrique exercée par deux charges q1 et q2 séparées par une distance r :
F(r) = kC * q1 * q1 / r 2
kC est la constante de Coulomb.

La force électrique (répulsive ou attractive) diminue donc avec le carré de la distance entre les corps chargés sur lesquels elle s'exerce.

On notera d'autre part que la force électrique a cette particularité – à priori peu intuitive – de ne pas se répartir entre les corpuscules sur lesquels elle s'exerce : c'est le principe de superposition de la force électrique, qu'exprime le produit q1 * q1.

electricite-superposition.png

Quelle est l'unité (ou "dimension") [ kC ] de kC ? Si l'on écrit l'équation n_force-de-coulomb en remplaçant tout par les dimensions on obtient :
N = [ kC ] * C2 / m2    ⇔
[ kC ] = N * m2 / C2    ⇔
Quelle est la valeur de kC ? Si q1=q1=1N et r=1m ⇒ on observe que F=8,99*109NkC = 8,99*109 N * m2 / C2, ce qui est énorme au regard de la charge d'un électron qe = 1,6 * 10 -19 C. Ainsi si l'on devait charger une bille de 10cm à 1C il y aurait tellement d'électrons dans cette bille que l'on observerait de très nombreuses expulsions d'électrons (éclairs).

Coulomb s'est évidemment inspiré de la loi de gravitation universelle, qui décrit la force de gravitationnelle FG = G * m1 * m1 / r 2 dont la constante de gravitation G (calculée par Cavendish) est énormément plus petite que kC.

Forme vectorielle. L'équation n_force-de-coulomb est la forme scalaire de la force électrique et est donc incomplète. Il convient également de pouvoir déterminer sa direction, au travers de sa forme vectorielle :

F = kC * q2 * q1 / r 2 * 1r

1r = ( r2 - r1 ) / || r2 - r1 || = ( r2 - r1 ) / r
est le vecteur direction (en norme) de la force exercée en q2, appelé vecteur unitaire radial ; ce vecteur est sans dimension (m/m=1) ; sa valeur se calcule par n_scalaires-additions et n_pythagore :
1r = ( x2 - x1 , y2 - y1 , z2 - z1 ) / √ ( ( x2 - x1 ) 2 + ( y2 - y1 ) 2 + ( z2 - z1 ) 2 )

N.B. Le vecteur unitaire radial est indépendant de la nature attractive ou répulsive de F. On le qualifie de radial car si l'on déplace l'une des deux charges autour de l'autre le VUR décrit le cercle correspondant.

Démonstration de n_force-de-coulomb-vector. L'axe des forces électriques agissant sur les charges q1 et q2 est l'axe déterminé par ces deux charges. Or le vecteur reliant celles-ci correspond à la définition de la différence de leurs vecteurs positions r1 et r2

F ∝ F * ( r2 - r1 )    ⇔
F est la valeur scalaire de n_force-de-coulomb
F ∝ F * 1r * || r2 - r1 ||    ⇒
F = F * 1r
F est le module de F

force-coulomb-vectorielle.png

On notera que les vecteurs F et -F sont toujours opposés, en vertu du principe de conservation de l'énergie.

Champs
électrique

La notion de "radialité" du vecteur unitaire radial conduit à celle de champs électrique. Pour modéliser ce phénomène on va accentuer la différenciation entre q1 et q2 qui deviennent q et q0. Cette dernière est appelée "charge d'essai", pour illustrer une multitude de positions relativement à q, de sorte que la variation du vecteur r0 - rq dans l'espace décrit un volume centré sur q : le champs électrique.

Pour étudier ce champs électrique on veut donc que ce concept décrive uniquement l'environnement de q, indépendamment de la charge d'essai. Cela conduit alors naturellement à définir simplement le champ électrique par :
E = F / q0 = kC * q / r 2 * 1r où [E]=N/C.

Pour exprimer une charge négative (q ou q0) on remplace le symbole de la charge par sa définition du nombre négatif : x < 0 ⇔ x = - | x |

  • si q > 0 ⇒ E est de même signe que 1r ⇒ le champs est extraverti  ;
  • si q < 0 ⇒ E est de signe opposé à 1r ⇒ le champs est intraverti.
champs-electrique-3D.png

Partie droite : si q0 était positif alors le vecteur vert F serait orienté vers q, donc dans la même direction que E

Le calcul de E est facile puisque c'est une version simplifiée de F :

  • r - rq = ( x - xq , y - yq , z - zq )
  • r = √ ( ( x - xq ) 2 + ( y - yq ) 2 + ( z - zq ) 2 )
champs-electrique-calcul.png

Nous venons de modéliser la notion champ électrique d’une seule charge ponctuelle (champ coulombien). Nous allons maintenant modéliser la répartition du champ électrique généré par une paire de charges électriques. Pour ce faire nous considérons la force totale engendrée par ces deux charges q1 et q2 sur une charge d’essai q0.

champs-charges-multipes.png

Le graphique ci-contre montre que le principe de superposition que l'on avait constaté pour les forces électriques, vaut également pour les champs électriques :
F = F1 + F1 = q0 * ( E1 + E1 ) = q0 * E
⇒ on retrouve :
E = F / q0

Et le principe de superposition est évidemment applicable au cas de n particules positionnées arbitrairement :
E = ∑ nEi

Ainsi si l'on calcule les champs d'un nombre suffisant de charges d'essai on verra apparaître les "lignes de champs" qui caractérisent la répartition des champs. Le graphe suivante montre le cas de deux charges positives et égales.

champs-charges-positives.png

Dans le graphique suivant les deux charges sont toujours égales en valeur absolue mais de signes opposés (champs "dipolaire"). C'est typiquement le cas d'une molécule d'eau : le champs généré par une molécule de H2O est de type dipolaire, ce qui explique que l'eau se présente habituellement sous forme liquide. Autre application, cette fois artificielle : dans une antenne on a un courant oscillant (c-à-d qui va d'un côté à l'autre) de sorte que les extrémités constitueront généralement un dipôle oscillant. L'oscillation du courant dans l'antenne a pour effet que la configuration du champs oscille également, ce qui génère des ondes (dites électromagnétiques)

champs-dipolaire.png

Réalité. Dans le graphique ci-dessus considérons maintenant l'une des deux charges comme une charge d'essai (disons q2). Quel est alors la force exercée sur elle ? On pourrait être tenté de répondre à cette question en observant le champs dipolaire du graphique. Mais cela ne fait pas sens puisque par définition même du champs électrique la charge d'essai n'est pas reprise dans sa configuration. Autrement dit, on doit oublier le champs généré par la charge d'essai ⇒ il ne reste plus ici que q1 à considérer. Or cette charge génère un champs coulombien. Et comme on pourrait tenir le même raisonnement en intervertissant les rôles (q1 devenant charge d'essai) on doit en conclure que le champs électrique ne correspond à aucune réalité physique (ou, pour dire les choses plus prudemment : dans le cadre des connaissances scientifiques actuelles il est difficile de conclure que le champs électrique puisse correspondre à une réalité physique). En fait le concept de champs électrique, qui change selon la charge que l'on considère pour mesurer la force, n'est qu'un outil mathématique permettant de réaliser des calculs.

On peut enfin calculer des configuration de champs complexes, comme ci-dessous. Cependant dans la pratique la notion de champs est surtout utilisée pour caractériser des composants de circuits électriques tels qu'un condensateur, qui n'est autre qu'un couple de plaques de charges opposées (cf. champs dipolaire) ce qui génère un champs entre les plaques (qui va permettre de contrôler les courants et tensions dans le circuit). On notera à cet égard que le nombre de charges sur ces plaques est tellement élevé (des milliards voir des milliards de milliards) qu'il serait fastidieux d'utiliser E = ∑ nEi superposition pour réaliser ces calculs. Dans ce type d'application on utilisera alors d'autres méthodes de calcul.

champs-complexes.png
Vidéos clipedia :
.1. L'électricité façonne notre univers
.2. Applications de l’électricité : introduction
.3. La force électrique : loi de Coulomb
.4. Loi de Coulomb : forme vectorielle
.5. Le champ électrique
.5. Le champ électrique : charges multiples

Ondes gravitationnelles

https://jortay.net/savoir-de-base#ondes-gravitationnelles

N.B. Cette section ne fait pas partie du cursus pour les examens d'entrée en école polytechnique ou faculté de médecine (les ondes gravitationnelles, théorisées au début du vingtième siècle, n'ont été observées qu'en 2016). Elle est donnée à titre informatif et ne peut être intégralement expliquée ou comprise à partir des sections précédentes.

ondes-gravitationnelles.gif

L'animation ci-contre illustre deux étoiles à neutrons (corps célestes dont la masse volumique est extraordinairement élevée, de l'ordre de mille milliards de tonnes par litre) qui s'étant rapprochées se sont ainsi mises en orbite autour l'une de l'autre. Ces mouvements orbitaux entraînent d'infimes ondulations, dites "ondes gravitationnelles".

La force de gravitation est la force d'attraction exercée l'une sur l'autre par deux masse M et m séparée par une distance r : FN = G * M * m / r 2

On notera la similitude de cette formule avec FC = kC * q1 * q1 / r 2 n_force-de-coulomb, décrivant la force électrique entre deux corps chargés électriquement.

Différences. La force électrique est d'un ordre de grandeur nettement plus élevé que la force gravitationnelle : FC / FN = 4,17 * 10 42 [source]. Autre différence : la force électrique peut être répulsive.

La variable d'écart r étant au dénominateur et au carré, il en résulte que ces forces diminuent exponentiellement lorsque la distance augmente.

Champs
électromagnétique

De la notion de force on passe à celle de champs gravitationnel, modélisant l'influence exercée par un corps autour de lui.

Dans la section consacrée à la forme vectoriel de la force électrique n_force-de-coulomb-vector nous avions évoqué, via la notion de vecteur radial, le fait que si l'on déplace l'un des deux corps autour de l'autre le vecteur partant du corps immobile décrit le cercle correspondant.

La propagation de cette influence d'un corps vers l'autre ne se fait pas instantanément. Il résulte de la nature spatio-temporelle de la dynamique des forces que la propagation génère une onde (électrique, gravitationnelle). Cette onde transmet un mouvement : dans l'animation suivante celui de la main est transmis à celui de la boule rouge.

onde-corde.gif

Ce sont exactement ces principes qui sont appliqués dans la communication par antennes radios dipolaires.

antenne-dipole.gif

Transmission d'ondes électromagnétiques vers une antenne dipolaire réceptrice.

L'animation suivante montre que lorsqu'un corps se déplace le champs électromagnétique qui lui est associé n'est pas déplacé en bloc mais de proche en proche.

equations-maxwell.png

Les équations de Maxwell modélisent le couplage (effet de boucle) entre champs électrique (E) et magnétique (B).

Il en résulte l'équation d'onde électromagnétique ΔE - 1 / c 2 * ∂ 2E / ∂t 2 = 0
ΔE est l'opérateur laplacien du champs E ;
c est la vitesse de la lumière, indiquant que les ondes se propagent à la vitesse de la lumière ; celle-ci n'étant pas infinie (transmission instantanée) ⇒ ΔE > 0.


Champs
gravitationnel

En réalisant un travail comparable à ceux de Maxwell sur les ondes gravitationnelles, mais appliqué cette fois aux ondes gravitationnelles, Einstein a formulé théoriquement en 1916 l'existence d'ondes gravitationnelles sous la forme d'un système d'équations plus nombreuses et complexes, dont : Gμν ≡ Rμν - 1/2 * R * gμν = 8 * π * G / c 4 * Tμν

• Gμν est le tenseur métrique du champs gravitationnel, exprimant le fait que la gravitation est une courbure de l'espace-temps ;
• T contient la masse du corps.

courbure-espace-temps.png

Le plan du graphique ci-contre représente une version simplifiée en deux dimensions de notre espace à trois dimensions, l'axe vertical représentant alors le temps (quatrième dimension). La modification de l'espace-temps par la masse de la sphère prend la forme de la courbure de l'espace représenté ici en deux dimensions ...

On notera que l'équation d'onde graviationnelle dérivée par Einstein à partir de son système d'équation est similaire à l'équation d'onde électromagnétique de Maxwell : Δhαβ - 1 / c 2 * ∂ 2 hαβ / ∂t 2 = 0

Δhαβ est le laplacien du tenseur qui est la solution de l'équation.

solution-equation-onde-gravitationnelle.png

Mais il est beaucoup plus difficile de vérifier expérimentalement l'existence des ondes gravitationnelles que celles des ondes électromagnétiques, en raison de l'ordre de grandeur nettement inférieur de la force gravitationnelle. Il faut donc être en mesure d'effectuer la mesure sur des masses d'ordres de grandeur tels que les étoiles à neutron illustrée dans l'animation au début de cette section, ou encore des trous noirs.

La vidéo suivante montre que la notion de courbure de l'espace-temps à proximité d'un corps de masse non nulle permet d'expliquer le mouvement orbital.

Relativité
générale

Le point de départ de la RG est le principe d'équivalence : la force d'inertie et la force de gravitation (le poids) sont des forces de même nature. Le cas du passager d'un véhicule spatial en MRUA – que nous avions présenté pour illustrer les principes et loi n_relativite à n_troisieme-loi-newton – est ainsi de même nature que la situation d'un individu à la surface de la Terre : l'accélération de gravitation est l'expression d'un MRUA de la Terre vers les objets que l'on voit "tomber" vers elle ou qu'elle supporte (PS : la Terre n'est donc pas un référentiel inertiel).

Cette interprétation de Terre en MRUA permanent est pour le moins contre-intuitive puisqu'elle vaut pour tous les points de planète, donc également pour deux points diamétralement opposés : comment la Terre peut-elle se déplacer en MRUA dans toutes les directions à la fois ... ? Je crois comprendre que la notion de courbure de l'espace-temps à proximité d'un corps de masse non nulle permet d'expliquer cette contradiction, mais que cela sort du champs de ce cours. Et c'est pour cela que dans les écoles est enseignée l'interprétation fausse de la "chute" des corps : car elle est plus intuitive que celle du rattrapage des corps ...

Peu intuitive mais puissante, la relativité générale permet d'expliquer non seulement le mouvement orbital (cf. vidéo supra) mais également le fait que deux corps de masses différentes "tombent" à la même vitesse. En effet, en vertu du principe d'équivalence, en sautant ou tombant je passe dans un référentiel inertiel ⇔ je ne subis plus d'accélération ⇔ Poids = m * g n_F=m*a0 = m * 0 ⇔ je suis en apesanteur ⇔ "on ne tombe pas, on est rattrapé par la Terre" ⇒ deux corps de masse différentes sont rattrapés en même temps par la Terre. CQFD par raisonnement logique. Mais des démonstrations expérimentales ont aussi été réalisées, comme le montre la vidéo suivante.

Démonstration expérimentale (4m41s)

Vidéos clipedia :
.1. Les ondes gravitationnelles
.2. Pourquoi les corps tombent-ils tous à la même vitesse?
.2. La circonférence de la Terre

Dérivée

https://jortay.net/savoir-de-base#derivee

La dérivée f '(x) = df(x) / dx c'est la pente de la courbe, ou encore la sensibilité (c-à-d le taux de variation) de f(x) par rapport à x. Ainsi si x est le temps écoulé et f(x) la distance parcourue alors ce taux de variation est la vitesse. Nous allons voir que la dérivée correspond à la vitesse dite "instantanée" c-à-d en un point déterminé, par opposition avec la vitesse moyenne Δy / Δt c-à-d entre deux points déterminés.

derivee1.png

C'est de cette vitesse moyenne que nous allons d'ailleurs déduire celle de vitesse instantanée. La vitesse est constante ⇔ la pente de la courbe est constante en tous points (droite verte). Ou encore la pente de la droite verte représente la vitesse moyenne de la courbe rouge.

De même l'on pourrait calculer la vitesse sur seulement un segment de la fonction, comme illustré dans le graphique suivant.

derivee2.png

Le principe de la dérivée est alors qu'en diminuant Δt = tf - ti "à l'infini" c-à-d jusqu'à une valeur "arbitrairement proche de zéro" (infinitésimale), on pourra toujours atteindre une échelle suffisamment petite pour que le segment de la courbe déterminé par Δt puisse être considéré comme une droite.

Ainsi Δy et Δt tendent tous les deux vers zéro, mais leur ratio est constant (puisqu'il le segment infinitésimal peut être considéré comme une droite) et vaut :
v(t) = limΔt → 0 Δy / Δt     ⇔
v(t) = limΔt → 0 ( y( t + Δt ) - y(t) ) / Δt
que l'on simplifie en posant que :
si Δt → 0 alors Δt = dt :
(notation "différentielle", qui est donc une différence infinitésimale, faisant passer d'une description discrète à un continuum, et l'on passe ainsi de la notion de vitesse moyenne à celle de vitesse instantanée)    ⇒
v(t) = ( y( t + dt ) - y(t) ) / dt     ⇔
v(t) = dy(t) / dt

Généralisation :
f '(x) = df (x) / dx = ( f ( x + dx ) - f (x) ) / dx
La première égalité définit la notation simplifiée.
Le deuxième égalité définit le mode de calcul.
La dérivée d'une fonction f(x) est donc le rapport entre la différentielle de la fonction f(x) et la différentielle de la variable x.

derivee3.png

La dérivée est elle-même une fonction (exemple à partir d'une f(x) quelconque).

Exemples :

Soit la fonction :
f (x) = x 2
appliquée à n_derivee    ⇒
d(x 2) / dx = ( ( x + dx ) 2 - x 2 ) / dx     ⇔
d(x 2) / dx = ( ( x 2 + 2 * x * dx + dx 2 ) - x 2 ) / dx     ⇔
d(x 2) / dx = 2 * x + dx
où par définition dx peut-être arbitrairement petit et donc considéré comme négligeable par rapport à 2*x     ⇒
d(x 2) / dx = 2 * x

Soit la fonction :
f (x) = 1 / x
appliquée à n_derivee    ⇒
d(1/x) / dx = ( 1 / ( x + dx ) - 1 / x ) / dx     ⇔
en réduisant le numérateur au même dénominateur :
d(1/x) / dx = - 1 / ( x 2 + x * dx )
où par définition dx peut-être arbitrairement petit, de sorte que x*dx peut être considéré comme négligeable par rapport à x2     ⇒
d(1/x) / dx = - 1 / x 2

Propriétés

À partir de f '(x) = df (x) / dx = [ f ( x + dx ) - f (x) ] / dx n_derivee on démontre les propriétés suivantes.

Dérivée d'une somme de fonction :
d( ∑ fi (x) ) / dx =
[ ∑ fi (x + dx) - ∑ fi (x) ] / dx =
la différence de sommes est une somme de différences :
[ ∑ ( fi (x + dx) - fi (x) ) ] / dx =
distribution de 1/dx :
∑ [ ( fi (x + dx) - fi (x) ) / dx ] =
∑ ( dfi (x) / dx )
CQFD

Dérivée d'un produit de fonctions :
d( π fi (x) ) / dx =
[ π fi (x + dx) - π fi (x) ] / dx =
par définition de dfi (x) = fi (x + dx) - fi (x) :
[ π ( fi (x) + dfi (x) ) - π fi (x) ] / dx = ?
Si l'on continue la démonstration sur cette voie générale ça va devenir difficilement lisible ⇒ on va plutôt passer par les cas n=2 et n=3 ; en outre, toutes les fonctions de la dernière étape étant en x, on va simplifier l'écriture en ne mentionnant plus x :
n=2 :
d( f * g ) / dx =
[ ( f + df ) * ( g + dg ) - f * g ] / dx =
[ f * g + f * dg + df * g + df * dg - f * g ] / dx =
f * g ' + f ' * g + df * dg / dx =
f * g ' + f ' * g + f ' * g' * dx    ⇔
( f * g )' = f ' * g + f * g '
n=3 :
d( f * h * i ) / dx =
en posant g(x) = h(x) * i(x) dans n_d(f*g)/dx :
f * ( h * i ) ' + f ' * ( h * i ) =
f * ( h * i' + h' * i ) + f ' * ( h * i ) =
f * h * i' + f * h' * i + f ' h * i )
où l'on constate une symétrie : le signe de dérivée passe progressivement d'un côté à l'autre, ce que l'on peut généraliser comme suit :
( π1 n fi )' = ∑i=1 n ( fi' * π1 i-1 fi * π i+1 n-1 fi )
CQFD
Ainsi dans le cas particulier fi = f   ∀ i :
( f n ) ' = n * f n-1 * f '
dont deux cas particuliers sont les fonctions :

  • identité : f (x) = x
    ( x n ) ' = dx n / dx = n * x n-1
  • inverse : f (x) = 1 / x = x -1
    ( x - n ) ' = dx - n / dx = - n * x -n-1

Dérivée d'un quotient de deux fonctions :
d( f (x) / g (x) ) / dx = d( f / g ) / dx = d( f * g - 1 ) / dx    ⇔
par n_d(f*g)/dx :
d( f / g ) / dx = f ' * g - 1 + f * g - 1 '    ⇔
par n_dfn(x)/dx :
d( f / g ) / dx = f ' * g - 1 - f * g - 2 * g '    ⇔
d( f / g ) / dx = ( f ' * g - f * g ' ) / g 2

Cependant la démonstration ci-dessus est incomplète car elle repose sur l'hypothèse non démontrée que n_dfn(x)/dx vaut également pour les entiers (n) négatifs. Pour démontrer cette hypothèse on va développer la différentielle d'un quotient particulier : f - n, cela en partant de sa définition :

f n * f - n = 1    ⇔
( f n * f - n ) ' = 0    ⇔
par n_d(f*g)/dx :
( f n ) ' * f - n + f n * ( f - n ) ' = 0    ⇔
( f - n ) ' = - ( f n ) ' * f - 2n    ⇔
( f - n ) ' = - n * f n-1 * f ' * f - 2n    ⇔
( f - n ) ' = - n * f -n-1 * f '
CQFD.

Dérivée de fonctions trigonométriques :
dcos(α) / dα = [ cos(α + dα) - cos(α) ] / dα    ⇔
par cos(a+b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b) n_cos(a+b) :
dcos(α) / dα = [ cos(α) * cos(dα) - sin(α) * sin(dα) - cos(α ] / dα    ⇔
dcos(α) / dα = - sin(α) * sin(dα) / dα    ⇒
par démonstration infra de sin(dα) = dα :
dcos(α) / dα = - sin(α)
Et on démontre de la même manière, cette fois à partir de n_sin(a+b), que :
dsin(α) / dα = cos(α)

derivee-cos.png

L'égalité sin(dα) = dα se démontre géométriquement à partir des définitions de l'angle radian n_radian et du sinus n_sinus : graphique ci-contre : la variation infinitésimale d'un angle α correspond à l'égalité "à la limite" entre l'arc-tangente (en rouge) et le sinus (en vert) : limα→0 sin(Δα) / dα = 1


Dérivée d'une fonction composée :
la démonstration est triviale :
dF( G(x) ) / dx =
dF( G(x) ) / dG(x) / ( dx / dG(x) )    ⇔
dF( G(x) ) / dx = dF( G(x) ) / dG(x) * dG(x) / dx   ⇔
( F[ G(x) ] )' = F'( G(x) ) * G'(x)

Vidéos clipedia :
.1. La dérivée : introduction
.2. Exemples de dérivées simples
.3. Dérivée d'une somme de fonctions
.4. Dérivée d'un produit de fonctions
.5. Dérivée d'un quotient de fonctions

Intégrale

https://jortay.net/savoir-de-base#integrale

Dans la section précédente nous avons vu que "dériver" (par rapport au temps) consiste à calculer le taux de variation à partir de la variation. L'opération inverse, c-à-d calculer le taux de variation à partir de la variation, s'appelle "intégrer". Pour ce faire l'équation xt - x0 = v * t n_vitesse du MRU suffit car v est constant. Mais si le taux de variation est variable (cas du MRUA) alors on devra utiliser un nouvel outil mathématique : l'intégrale.

Le principe de l'intégrale consiste à découper le temps en tranches et d'attribuer à chacune une vitesse constante qui n'est autre que la vitesse moyenne de cette tranche. Nous avons vu dans l'illustration du MRU n_vitesse que la surface du rectangle correspondant est précisément la variation que l'on souhaite retrouver (en l'occurrence la distance parcourue).

Dès lors pour affiner l'intégration on passe à des variations infinitésimales (⇒ on remplace les Δt par des dt) et donc à un nombre infini de tranches. Ce faisant on remplace la fonction discontinue vn = Δxn / Δt par la fonction continue v(t) = dx(t) / dt.

integrale.png

Maintenant que nous avons exposé la signification géométrique d'une intégrale nous allons voir comment la calculer. Mais pour cela il nous faut d'abord transformer le résultat du graphique de droite ci-dessus en une fonction du temps c-à-d que l'on considère x( t f ) comme variable de sorte que l'on remplace x( t f ) par x(t), et que x( t i ) est considéré comme connu (et passe donc dans le membre de droite). Il nous faut également distinguer le t de la variable du t représentant la borne finale de l'intégrale ⇒ on remplace le premier par t'.

Après ces corrections de notations on obtient : x(t) = x(t i) + ∫ t it v(t') * dt'

Le calcul d'une intégrale se résume alors en un règle simple : « l'intégrale de f(x) est la différence des primitives de f(x) entre les bornes » :

x ix f f(x) * dx = F(xf) - F(xi)
que l'on note aussi [ F(x) ] x ix f
F(x) est appelée "primitive" de "l'intégrande" f(x), et est telle que
F(x) = ∫ f(x) * dxdF(x) / dx = f(x)
NB : primitive et dérivée sont donc des fonctions inverses.

Pour montrer le raisonnement conduisant à n_integrale on part de
x(t) = x(t i) + ∫ t it v(t') * dt' n_integrale-continue
appliquée au MRU c-à-d telle que v(t')=v0
Or dans ce cas on sait que la solution est x(ti) = v0 * t + x0 n_vitesse
qui vaut aussi pour x(ti) = v0 * ti + x0
que l'on substitue dans n_integrale-continue
t it v(t') * dt' = v0 * t - v0 * ti
Comme on est dans le cas v(t')=v0 ⇒ on vérifie bien que :
t it v0 * dt' = v0 * ( t - ti )    ⇔
v0 * ∫ t it dt' = v0 * ( t - ti )    ⇔
v0 * ( t - ti ) = v0 * ( t - ti )

Ce résultat obtenu pour v(t')=v0 on le généralise à toute fonction v(t') en posant
t it v(t') * dt' = V(t) - V(ti )
V(t) est telle que dV(t) / dt = v(t')

On peut alors démontrer formellement n_integrale en partant de la primitive
V(t) = ∫ t*t v(t') * dt' + C    ⇔
V(t) = ∫ t*ti v(t') * dt' + ∫ ti t v(t') * dt' + C   ⇔
V(t) = V(ti) - C + ∫ ti t v(t') * dt' + C   ⇔
ti tv(t') * dt' = V(t)- V(ti)
CQFD

La principale difficulté du calcul d'une intégrale consiste donc en l'identification de la primitive de l'intégrande.

Deux primitives remarquables sont :
f(x) = sin(x) ⇒ F(x) = - cos(x)
f(x) = 1/x ⇒ F(x) = ln(x)

On peut maintenant démontrer mathématiquement l'équation du MRUA xt = x0 + v0 * t + a * t2 / 2 n_xt=x0+v0*t en appliquant n_integrale pour calculer la distance parcourue, étant donnée l'équation de la vitesse vt = v0 + a * t n_a=v(t)/t :
xt - x0 = ∫ 0 tv(t') * dt' = V(t)- V(0)
or si vt = v0 + a * tV(t) = C + v0 * t + a/2 * t2    ⇒
xt - x0 = C + v0 * t + a/2 * t2 - C    ⇔
xt = x0 + v0 * t + a/2 * t2
CQFD

On va pouvoir également calculer la puissance de l'énergie nucléaire. Celle-ci consiste en la fission du noyau d'atome, ce qui provoque son explosion par expulsion des protons qu'il contient, puisque ceux-ci sont des charges électriques positives, qui se repoussent mutuellement.

La force électrique de répulsion entre les charges positives que sont les protons fournit donc un travail W à ceux-ci, qui acquièrent ainsi une certaine vitesse et, partant, une certaine énergie cinétique Ec = M * v2 / 2 n_energie-cinetique. Et en vertu du principe de conservation on a que W = Ec. Or W = f * x(t) n_travail, mais dans cette formule F est considérée comme constante, or la force électrique diminue avec la distance entre les charges : f(r) = kC * q1 * q1 / r 2 n_force-de-coulomb (NB : le modèle de calcul est ici composé de deux protons dont l'un est considéré immobile). La solution consiste à considérer la force électrique comme constante sur un segment infinitésimal dx.

explosion-atomique.png

Et puisque dx est une grandeur infinitésimale alors c'est aussi le cas du travail correspondant : dW = f(x) * dx (le rectangle bleu dans le graphique ci-dessus)    ⇒
W = ∫ dW = ∫ f(x) * dx = [ F(x) ]x0 =
[ - kC * qe2 / x ] x0 =
- kC * qe2 * [ 1 / ∞ - 1 / x0 ] =
- kC * qe2 * 1 / x0
où :
x0 est la distance entre nucléon du noyau c-à-d la taille d'un nucléon, soit un ordre de 10 * 10-15 m ;
kC = 9 * 109 N * m2 / C2
• qe = 1,6 * 10 -19 C
⇒ W = 23 * 10 -14 J
ce qui est extrêmement petit ... mais ne concerne qu'un seul proton ⇒ si on considère un nombre de protons égal au nombre d'Avogadro, c-à-d le nombre de protons contenus dans une mole, donc dans un gramme de protons, on obtient alors une valeur nettement plus grande :
1 g : W = 6 * 1023 * 23 * 10 -14 J = 138 * 109 J.
Un gramme de protons contient donc un potentiel d'énergie de milliards de joules !

Technique
d'intégration

Établir la formule qui donne l'aire du cercle en fonction de son rayon est un cas montrant qu'il est parfois difficile de calculer la primitive de façon usuelle, c'est-à-dire sur base de l'intuition. Dans ce cas la technique de changement de variable consiste à passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires et d'ainsi obtenir une expression trigonométrique de l'intégrande, dont la primitive est facilement identifiée à partir de la formule du cosinus de l'arc double.

surface-cercle.png

Le premier réflexe est de définir l'intégrande à partir du théorème de Pythagore :
R2 = x2 + y2 n_pythagore n_pythagore-math   ⇔
y = √ ( R2 - x2 )    ⇒
S/4 = ∫ ds = ∫0R y(x) * dx = ∫0R √ ( R2 - x2 ) * dx
Or trouver la primitive de √ ( R2 - x2 ) est très difficile ...


surface-cercle-polaire.png

Il est intuitivement facile de comprendre qu'une solution plus adaptée au cercle est d'exprimer ses points en fonction de leur angle correspondant (coordonnées polaires) plutôt que de leur coordonnées x et y :
y = R * cos(θ)
x = R * sin(θ)    ⇒
dx / dθ = R * dsin(θ) / dθ    ⇒
par n_derivee-sin
dx / dθ = R * cos(θ)   ⇔
dx = R * cos(θ) * dθ    ⇒
on substitue les nouvelles expressions de y(x) et dx dans :
S/4 = ∫ ds = ∫0R y(x) * dx    ⇒
S/4 = ∫0π/2 R * cos(θ) * R * cos(θ) * dθ   ⇔
S/4 = ∫0π/2 R2 * cos2(θ) * dθ

surface-cercle-polaire-2.png

La nouvelle intégrande a une forme différente, mais la surface qui lui correspond est bien égale à S/4.

Maintenant il nous faut trouver la primitive de l'intégrande R2 * cos2(θ) que l'on va simplifier par :
cos(2*θ) = 2 * cos2(θ) - 1    n_cos(2a)   ⇔
cos2(θ) = 1/2 + cos(2*θ) / 2     ⇒
S/4 = R2 * ∫0π/2 [ 1/2 + cos(2*θ) / 2 ] * dθ    ⇒
par n_derivee-fonction-composee :
F(θ) = θ / 2 + 1/4 * sin(2*θ)    ⇒
S/4 = R2 * [ θ / 2 + 1/4 * sin(2*θ) ]0π/2   ⇔
S/4 = R2 * π/4    ⇔
S = π * R2

surface-cercle-2.png

Notons que cette démonstration a été développée pour illustrer la technique du changement de variable. Cependant la surface du cercle peut être calculée plus simplement en décomposant le cercle en une somme de triangles de base infinitésimale R * dθ et dont la surface est donc :
dS = R * dθ * R / 2 = R2 * dθ / 2    ⇒
S = ∫ dS = ∫0 R2 * dθ / 2    ⇔
S = R2 / 2 * [ θ ]0    ⇔
S = π * R2

Terminons en notant que ab k = ∞ puisque l'outil intégral est conçu pour sommer des éléments infinitésimaux à l'infini ⇒ si l'élément infinitésimal est absent alors la somme vaut nécessairement l'infini !

Vidéos clipedia :
.1. L'intégrale : introduction
.2. Calcul d'intégrales : la primitive
.3. Calcul d'intégrales : exemples
.4. Intégration par changement de variable : l'aire du cercle
.5. Calcul intégral : une petite mise au point

Rotation

https://jortay.net/savoir-de-base#rotation
rotation-composantes.png

Dynamique
de rotation

Pour illustrer le mouvement de rotation on prend le cas du pendule, mais en faisant abstraction de la force de gravitation : on peut donc le considérer dans un plan horizontal. Et étant donné la construction du système de pendule, la force centrifuge exercée par la masse sur la tige du pendule est compensée par la force centripète (en raison de la rigidité du câble). Le même principe vaut pour la composante de la force dans le sens du pendule. Il ne reste donc que la composante de force perpendiculaire à la tige du pendule ⇒ on peut décrire ce mouvement circulaire comme s'il était rectiligne ⇒ on peut appliquer la loi de Newton :

rotation-calcul.png

Étape 1.
m * a = F    ⇔   par n_sinus :
m * a = F * sin(α)    ⇔
m * d2x / dt2 = F * sin(α)
Pour modéliser le mouvement de rotation on ne va pas utiliser la coordonnée de position x mais la coordonnée angulaire θ. Pour ce faire on passe de x à θ (en radians) par :
x = r * θ n_radian    ⇒
d2x / dt2 = r * d2θ / dt2   ⇒
m * r * d2θ / dt2 = F * sin(α)    ⇔
d2θ / dt2 = F * sin(α) / ( m * r )    ⇒
dθ / dt = F * sin(α) / ( m * r ) * t   ⇒
θ = F * sin(α) / ( m * r ) * t 2 / 2   ⇔
c-à-d l'équivalent angulaire de xt = x0 + v0 * t + a * t2 / 2 n_xt=x0+v0*t où la position et vitesse initiales sont nulles.

NB : l'accélération angulaire dθ / dt = F * sin(α) / ( m * r ) est donc au mouvement de rotation ce que l'accélération rectiligne a est au MRUA.

Étape 2. Passons maintenant à un cas plus général, tel que le point d'application de la force extérieure n'est pas nécessairement situé sur la masse (cf. graphique suivant).

rotation-levier.png

En fait il s'agit d'un système de levier, et on peut donc lui appliquer la loi des leviers n_loi-leviers :
r * fi = rF * F * sin(α)    ⇔
fi = rF / r * F * sin(α)    ⇒
en vertu de la notion d'équilibre dynamique, c-à-d le fait que les forces apparaissent toujours par couple de forces opposées n_troisieme-loi-newton :
f = rF / r * F * sin(α)

On refait alors comme précédemment :
m * a = f    ⇔
m * d2x / dt2 = rF / r * F * sin(α)    ⇔
m * r * d2θ / dt2 = rF / r * F * sin(α)    ⇔
NB : on retrouve bien le cas précédent (force appliquée sur la masse) en posant rF = r.
d2θ / dt2 = rF * F * sin(α) / ( m * r2 )    ⇔
θ(t) = 1/2 * rF * F * sin(α) / ( m * r2 ) * t2

⇔ par τ = rF * F * sin(α) n_τ=r*F*sin(θ) :
d2θ / dt2 = τ / ( m * r2 )    ⇔
θ(t) = 1/2 * τ / ( m * r2 ) * t2

Le carré du rayon exprime une forte sensibilité à la distance.

Si on passe de la notation scalaire à la notation vectorielle pour appliquer la règle de la main droite, on observe que ses résultats (symboles ⊗ et ⊙ au point pivot) sont cohérents avec l'égalité des moments de force (au signe près) :
τi = r x fi = r x - f = - τf    ⇒
par supra :
r * f = rF * F * sin(α)    ⇒
- τi = τ    ⇔
τi + τ = 0

Étape 3. Passons maintenant à un cas encore plus général en supposant le cas de deux masses distinctes du point d'application de la force extérieure.

rotation-levier-2.png

Pour ce faire on va à nouveau recourir à la notion d'équilibre dynamique exprimée en fonction des moments de force :
τi1 + τi2 + τ = 0
c-à-d que le moment de force extérieur compense les moment de force d'inertie combinés. Et selon ce même principe d'équilibre dynamique les forces d'inertie sont compensées par les forces qui accélèrent les masses, via la structure rigide du pendule c-à-d via leurs moments de force respectifs :
τi1 = - τ1 et τi2 = - τ2
que l'on substitue dans l'égalité précédente    ⇒
τ1 + τ2 = τ
⇒ on passe à la notation scalaire, ce qui simplifiera le développement :
τ1 + τ2 = τ
où l'on injecte les valeurs de τ données par le résultat de l'étape 2    ⇒
m1 * r12 d2θ / dt2 + m2 * r22 d2θ / dt2 = τ    ⇔
( m1 * r12 + m2 * r22 ) * d2θ / dt2 = τ
• où J = m1 * r12 + m2 * r22 est le "moment d'inertie"
• où l'on retrouve le résultat de l'étape 2 en posant r1=r2 et m1+m2=m

Le tableau suivant permet de comparer la loi de Newton et sa version adaptée au mouvement circulaire.

Rectilignem * d2x / dt2 = f
Rotation( m1 * r12 + m2 * r22 ) * d2θ / dt2 = τ
rotation-volumes-2.png

Généralisation finale :

  • l'équation du mouvement de rotation vaut pour un nombre indéfini de masses, dont le moment d'inertie vaut : J = ∑n=1N mn * rn2
  • l'équation du mouvement de rotation vaut également pour une localisation indéfinie dans l'espace à trois dimensions (du système du levier) car toute localisation en dehors de l'axe contenant le point d'application de la force extérieure peut y être ramené par rotation et translation ; NB : la distance r se calcule par rapport à la distance à l'axe de rotation.

En pratique pour calculer le moment d'inertie d'un corps en trois dimension on va "décomposer" celui-ci en un nombre arbitrairement élevé de cubes élémentaires ΔVn (donc de taille arbitrairement petite), chacun étant caractérisé par une distance rn par rapport à l'axe de rotation. Quant à la masse de chacun de ces volumes élémentaires on l'obtient par la masse volumique ρ : mn = ρ * ΔVn n_masse-volumique
J = ∑n=1N ρ * ΔVn * rn2   ⇒
J = ∫n=1N ρ * dVn * rn2

On peut montrer que l'on obtient des formules assez simples pour le moment d'inertie des volumes suivants :

rotation-volumes.png
Énergie
de rotation

À ce corps en mouvement de rotation, auquel sont associés une masse et une vitesse, correspond par conséquent une énergie cinétique Ec = m * v2 / 2 n_energie-cinetique. D'autre part, étant donné que l'arc-radian x = r * θ n_radianv = dx / dt = r * dθ / dt.

On appelle vitesse angulaire w = dθ / dt = 2 * π / T
T est la période du mouvement c-à-d le temps mis pour faire un tour,
v = r * ω
que l'on substitue dans n_energie-cinetique
Ec = m * r2 * ω2 / 2    ⇔ par n_moment-inertie-1 :
Ec = J * ω2 / 2    ⇔

Le tableau suivant compare les formules de l'énergie cinétique selon le type de mouvement.

RectiligneEc = m * v2 / 2
RotationEc = J * ω2 / 2
moment-anneau.png

Application. On prend le cas d'un moteur monocylindre, dont le mouvement du cylindre est en quatre temps : explosion (qui produit de l'énergie) plus trois phases (échappement ⇒ admission ⇒ compression), qui ne produisent pas d'énergie ⇒ pour que le moteur fonctionne à une vitesse constante on va chercher de l'énergie additionnelle dans l'énergie cinétique accumulée dans un volant adossé au moteur. Pour calculer son énergie cinétique on utilise la formule du moment d'un anneau (graphique ci-contre), obtenue par le calcul d'intégration de volumes ébauché supra :
J = 1/2 * M * ( R12 + R22 )    ⇒
en injectant les valeurs du schéma ci-contre (la valeur de ρ est celle de l'acier) on trouve :
J ≈ 1,9 kg*m2
On suppose que le moteur tourne à une fréquence de :
f = 2.400 tour/min = 40 tr/s (= Hz)
or la fréquence est par définition l'inverse de la période T    ⇒
ω = 2 * π / T ≈ 251 Hz   n_vitesse-angulaire    ⇒
Ec = J * ω2 / 2 ≈ 1,9 * 2512 / 2 ≈ 60.000 J
ce qui représente l'énergie nécessaire pour envoyer une masse de 1kg à une hauteur de 6.000 mètres :

  • Ec = W = F * L n_travail    ⇒
    L = W / F = 60.000 / F
  • F = m * a n_F=m*a    ⇒ F ≈ 1 * 10 = 10 N

⇒ L = 60.000 / 10 = 6.000 m

Le tableau suivant compare les formules de (moment) de force, énergie et vitesse selon le type de mouvement.

(Moment de) ForceÉnergieVitesse
Rectilignem * d2x / dt2 = fEc = m * v2 / 2v = dx /dt
Rotation( n=1N mn * rn2 ) * d2θ / dt2 = τ Ec = J * ω2 / 2ω = dθ / dt

Ainsi dans le MRUA la force d'inertie exercée sur le corps est déterminée par la masse m tandis que dans le mouvement de rotation elle est déterminée par le moment d'inertie J = ∫n=1N ρ * dVn * rn2.

Vidéos clipedia :
.1. La dynamique de la rotation et le moment d'inertie
.2. Energie de rotation et moment d'inertie

Équation du second degré

https://jortay.net/savoir-de-base#equation-second-degre

Soit l'équation polynomiale de degré n :
i=0n ai * x i = 0

Si n=2 on obtient le polynôme du second degré a0 + a1 * x + a2 * x2, que l'on écrit plus souvent sous la forme a * x2 + b * x + c (forme "standard").

Si a * x2 + b * x + c = 0 est l'équation polynomiale du second degré, on pourrait se demander ce qu'est a * x2 + b * x + c = d. La réponse est que « c'est également une équation polynomiale du second degré » :
a * x2 + b * x + c = d    ⇔
a * x2 + b * x + ( c - d ) = 0    ⇔

Résolution
algébrique

Pour trouver la solution de l'équation du second degré a * x2 + b * x + c = 0, c-à-d exprimer x en fonction de la valeur des paramètres, on va appliquer une méthode en 4 étapes :

  1. isoler x :
    a * x2 + b * x + c = 0    ⇒
    en posant : b * x + c = - h    ⇒
    a * x2 - h = 0    ⇔
    x = +/- √ ( h / a )
  2. passer à la forme canonique :
    on voit que dans la relation biunivoque :
    a * x2 - h = 0   ⇔   x = +/- √ ( h / a )
    on peut remplacer x par x-e    ⇒
    a * ( x - e )2 - h = 0   ⇔   x = e +/- √ ( h / a )
  3. calculer les équivalences en e et h, entre formes canonique et standard :
    a * ( x - e )2 - h = 0    ⇔    ( forme canonique)
    a * x2 - 2 * a * e * x + a * e2    ⇒
    par comparaison avec :
    a * x2 + b * x + c    ( forme standard)
    on voit que :
    b = - 2 a * e * x
    c = a * e2 - h


    e = - b / ( 2 * a )
    h = a * e2 - c =   ⇒   h = b2 / ( 4 * a ) - c

  4. Substituer les valeurs de e et h dans la solution canonique (point 2) :
    x = - b / ( 2 * a ) +/- √ ( b2 / ( 4 * a2 ) - c / a )    ⇔
    x = [ - b +/- √ ( b2 - 4 * a * c ) ] / ( 2 * a )
    PS : ces deux valeurs (notez le +/-) sont appelées "racines de l'équation du second degré".

Pour qu'une solution existe il faut que la partie en racine carrée soit non négative : b2 - 4 * a * c ≥ 0 (car il n'existe pas de racine carrée d'un nombre négatif puisque tout carré est positif). Cette partie en racine carrée est appelée "discriminant" de l'équation (et notée Δ) car elle différencie les valeurs respectives des deux "racines" (on ne dit pas "solution" car c'est leur ensemble qui constitue la solution).

Interprétation
géométrique

Comprenons bien la différence entre le graphe y = a * x2 + b * x + c (la courbe rouge, telle que x est en abscisse et y(x) = a * x2 + b * x + c en ordonnée), et le cas particulier y = a * x2 + b * x + c = 0 déterminant les deux "zéros" du polynôme (les deux points jaunes).

solutions-polynome.png

Pour affiner l'interprétation géométrique on va étudier divers paramétrages du polynôme, c-à-d l'effet de diverses valeurs des paramètres a, b et c sur le graphe de la fonction polynomiale y = a * x2 + b * x + c. Le premier est celui de b=c=0 ⇒ y = a * x2

parabole.png

Passons maintenant à y = a * x2 - h (étape 1 du développement mathématique supra). Nous voyons que cela correspond à un mouvement vertical de la parabole.

parabole-h.png

On voit alors apparaître les "zéros" de la fonctions. On voit également que si h/a est négatif alors la valeur minimale de y est supérieure à zéro et il n'y a donc plus de "zéros" (ligne hachurée).

parabole-h-valeurs.png

Passons maintenant à y = a * ( x - e )2 - h (étape 2 du développement mathématique supra), ce qui correspond à un mouvement horizontal de la parabole. Pour le comprendre il suffit de poser x=e ⇒ y=-h ⇔ la parabole se déplace horizontalement et vers la droite. In en résulte que l'axe de symétrie est passé de x=0 à x=e.

parabole-e.png

On voit enfin que la valeur de a détermine l'ouverture de la parabole : plus a est grand plus la valeur de y est élevée pour un x donné.

parabole-a.png

En résumé pour la forme canonique y = a * ( x - e )2 - h :

  • h détermine le minimum de la parabole, et donc le déplacement vertical ;
  • e détermine la position de l'axe de symétrie, et donc le déplacement horizontal ;
  • a détermine l'ouverture de la parabole.

Le graphique suivant exprime la situation cette fois en termes standards.

parabole-standard.png

Distinguons dans la solution encadrée en vert les deux membres de l'addition/différence : le membre de gauche (-b/(2a) c-à-d e) détermine l'axe de symétrie, tandis que le membre de droite détermine l'ouverture de la parabole. Quant à la position du minimum de la parabole, elle est fonction du signe du discriminant Δ :

  • Δ > 0 ⇔ minimum en-dessous de l'axe horizontal ⇔ deux "zéros"  ;
  • Δ= 0 ⇔ minimum sur l'axe horizontal ⇔ un seul "zéro"  ;
  • Δ < 0 ⇔ minimum au-dessus de l'axe horizontal ⇔ pas de "zéro".
Illustration

La trajectoire balistique d'un corps lancé dans l'espace en présence de gravitation est donnée par l'expression du graphique ci-dessous, qui est bien un polynôme du second degré. On notera le signe négatif lié à la gravitation g (puisque celle-ci est orientée vers le bas). Le signe du paramètre a dans y(x) = a * x2 + b * x + c étant ainsi négatif la parabole est bien concave. Il y a cohérence entre formulation théorique et réalité physique.

courbe-balistique.png

On veut calculer l'endroit où placer le matelas, c-à-d la valeur de x correspondant à y=0. L'équation a * x2 + b * x + c = 0 correspond donc à la problématique. La solution se trouve dans la valeur des racines dont nous avons calculé la formule. Les valeurs des paramètres g, v φ et h étant connues, il en va de même pour les paramètres correspondants a, b et c. Il reste à calculer la valeur de x ... en veillant à utiliser les mêmes unités de longueur (PS : on notera à cet égard que la tangente n'a pas de dimension ⇒ ok pour x1).

Mais il reste à interpréter correctement les résultats, c-à-d en fonction de la réalité physique. En l'occurrence il apparaît qu'une des deux racine est nécessairement négative (puisqu'on a placé le zéro des abscisse au niveau du canon) et ne correspond ici à aucune réalité physique.

On va enfin calculer la hauteur maximale H que le clown va atteindre afin de vérifier que le chapiteau est suffisamment haut. L'équation du second degré correspondant à cette problématique est :
a * x2 + b * x + c = H     ⇔
a * x2 + b * x + ( c - H ) = 0

Le graphique suivant montre que cette valeur maximale ne sera pas atteinte tant qu'il y aura deux racines, c-à-d tant que le discriminant sera positif.

courbe-balistique-2.png

On comprend alors que la solution correspond à Δ=0 ce qui nous permet de trouver la valeur de H (NB : ... en veillant à remplacer c par c'=c-H dans la formule du discriminant).

courbe-balistique-3.png
Vidéos clipedia :
.1. L’équation du second degré : résolution algébrique
.2. L’équation du second degré : interprétation géométrique
.3. L’équation du second degré : illustration

Nombres complexes

https://jortay.net/savoir-de-base#nombres-complexes
Nombres
imaginaires

Les nombres imaginaires et les nombres complexes constituent un outil mathématique qui permet de faciliter grandement le traitement mathématique d’un très vaste nombre de phénomènes en physique : optique, relativité, mécanique quantique, électricité, ...

Une règle fondamentale de l'arithmétique en général et des nombre complexes en particulier est que « moins par moins donne plus » : -a * -b = a * b

Mais cette règle pose problème lorsqu'on l'applique à la racine d'un nombre.

Par définition la racine n-ième d'un nombre a – notée n a – est telle que ( √n a ) n = +/- a si n est paire et ( √n a ) n = a si n est impaire
ou encore
(   √2n a ) 2n = +/- a  et  (      √2n-1 a ) 2n-1 = a

Il découle de n_racine et ( a m ) n = a m*n n_puissance-de-puissance que n a = a 1/n

Il y a bien un problème dans le cas où a est négatif et n est paire : par exemple si n=2 alors il résulte de n_racine que √-4 * √-4 = +/- 4 ; or il résulte de n_moins-par-moins que le membre de gauche ne peut être que positif ...

La solution a ce problème a été inventée au 16° siècle par le physicien et mathématicien Cardano (inventeur du cardan) afin de rendre possible le calcul des racines du polynôme du troisième ordre (a * x3 + b * x2 + c * x + d = 0).

Cette solution consiste à poser que :
√-a = √( -1 * a) = √-1 * √a = i * √a
où par définition i = √-1, appelée "unité imaginaire" (*), est telle que i 2n = -1

Par conséquent, soit a un nombre réel, alors a * i est dit "nombre imaginaire" : I ≡ i * ℝ.

imaginaires-reels.png

La comparaison des deux droites illustre la nature "d'unité imaginaire" de i autour de zéro, ce dernier étant l'unique valeur commune aux deux ensembles iℝ et ℝ.

Ainsi la solution de l'équation du second degré n_racines-polynome :
x = ( - b +/- √D ) / ( 2 * a )
D ≥ 0

peut être généralisée en :
x = ( - b +/- d * √|D| ) / ( 2 * a )
d = 1 si D ≥ 0
d = i si D < 0

Ainsi en particulier l’équation x2 = −a  où  a > 0 a pour solutions x = +/- i * √a

Nombres
complexes

Un nombre complexe est la somme d'un terme réel et d'un terme imaginaire : z = x + i * y où x et y sont des réels : ℂ = ℝ +iℝ.

Les opérations sur nombres complexes consistent à appliquer les règles valables pour les réels aux parties des nombres complexes (en prenant en compte le fait que i 2 = −1) : soit z = x + i * y alors les parties réelle et imaginaire sont respectivement x et y (NB : y est appelé "partie" imaginaire tandis que i * y est appelé terme imaginaire ) :

  • addition :
    ( x1 + i * y1 ) + ( x2 + i * y2 ) = ( x1 + x 2 ) + i * ( y1 + y2 )
  • multiplication par un réel :
    a * ( x + i * y ) = a * x + i * a * y
  • multiplication par un autre complexe : distributivité de la multiplication sur l’addition ⇒
    ( x1 + i * y1 ) * ( x2 + i * y2 ) = ( x1 * x2 − y1 * y2 ) + i * ( x1 * y2 + x2 * y1 )

    dont découlent les cas particuliers :
    • carré :
      ( x + i * y ) 2 = x 2 - y 2 + i * 2 * x * y
      aussi par application du produit remarquable ( a + b ) 2 = a 2 + b 2 + 2 * a * b
    • multiplication par conjugué (soit z = x + i * yz = x - i * y) :
      ( x + i * y ) * ( x - i * y ) = x 2 + y 2
      aussi par application du produit remarquable ( a + b ) * (a - b ) = a 2 - b 2
      N.B. :
      • z * z ∈ ℝ 
      • on appelle module de z la racine carrée du produit par le conjugué : | z | = √ ( z * z ) = √ ( x 2 + y 2 )
  • division :
    z1 / z2 = z1 * z2 / | z2 | 2    ⇔
    ( a + i * b ) / ( c + i * d ) = ( a + i * b ) * ( c - i * d ) / ( c 2 + d 2 )
    Démonstration :
    z1 / z2 =
    en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur
    z1 * z2 / ( z2 * z2 ) =
    par n_module-complexe
    z1 * z2 / | z2 | 2
    CQFD

La nature réelle du module permet de calculer ainsi la division de deux nombres complexes plus rapidement qu'en développant x + i * y = ( a + i * b ) / ( c + i * d ) pour identifier a et b par un système de deux équations à deux inconnues x et y.

Représentation
géométrique

Il existe une ressemblance flagrante entre addition de deux nombres complexes et addition de deux vecteurs :

  • z1 + z2 = ( x1 + i * y1 ) + ( x2 + i * y2 ) = ( x1 + x 2 ) + i * ( y1 + y2 )
  • v1 + v 2 = (x1, x2y) + (y1, y2) = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) n_scalaires-additions
complexes-representation-geometrique.png

Cela montre que l'on peut considérer un nombre complexe comme un vecteur, et donc le représenter géométriquement de la même manière : l'axe X pour la partie réelle du nombre complexe, et l'axe Y pour sa partie imaginaire .


complexes-module-geometrique.png

Également similarité pour la représentation géométrique et le calcul algébrique du module.


Ainsi les nombres complexes ayant le même module se trouvent sur un cercle de rayon module et centré sur l'origine. On peut également représenter les nombres complexes opposés (symétrique centrale, par rapport à l'origine), conjugués (symétrie axiale, par rapport à l'axe X), ou encore multipliés.

complexes-cas-partic--geometrique.png
Forme
polaire

Nous venons de voir qu'un nombre complexe peut être représenté géométriquement par des coordonnées cartésiennes d'un point. Il peut l'être également par des coordonnées polaires définissant le vecteur position de ce point par deux grandeurs : le module ρ et l'angle θ (appelé "argument" et mesuré relativement à l'axe X) : z = ρ * cos(θ) + i * ρ * sin(θ)

complexe-coordonnees-polaires.png

ρ est mesuré positivement dans le sens trigonométrique c-à-d anti-horlogique

Pourquoi "polaire" ? On parle de forme "polaire" par référence au système de méridiens et parallèles utilisé pour déterminer une position sur la surface d'un globe (donc en trois dimensions). Chaque méridien passe par les deux pôles et est défini par un certain nombre de degrés de longitude relativement au méridien de Greenwich. Chaque parallèle coupe les méridiens perpendiculairement et est défini par un certain nombre de degrés de latitude relativement à l'équateur. Les deux pôles nord et sud jouent donc le rôle de l'origine (0, 0) des graphiques ci-dessus, qui peuvent être vus comme si l'on regardait la sphère à partir d'un point situé sur la droite reliant les deux pôles ⇒ θ correspond alors à la longitude, l'axe X au méridien de Greenwich et ρ à la latitude.

Il y a identité entre le module du nombre complexe et celui du vecteur associé : | z | = ρ
Démonstration :
| z | = √ ( x 2 + y 2 )    n_module-complexe    ⇔
par n_sinus et n_cos(a)=x/R :
| z | = √ ( [ ρ * cos(θ) ] 2 + [ ρ * sin(θ) ] 2 )    ⇔
| z | = ρ * √ ( [ cos(θ) ] 2 + [ sin(θ) ] 2 )    ⇔
par n_sin2(a)+cos2(a)=1
| z | = ρ
CQFD

Nous avons donc deux formes des nombres complexes :

forme cartésiennez = x + i * y
forme polairez = ρ * cos(θ) + i * ρ * sin(θ)

Exprimer les coordonnées d'une forme en fonction des coordonnées de l'autre forme est trivial, sauf pour θ :

Coordonnées cartésiennesCoordonnées polaires
x = ρ * cos(θ)
y = ρ * sin(θ)
ρ = √ ( x 2 + y 2 )
θ = arctg( y / x )
complexe-argument.png

On démontre géométriquement la valeur de θ en dessinant un cercle centré sur l'origine et de rayon x.

On peut démontrer algébriquement la valeur de θ en divisant membre à membre les deux égalités de la colonne de gauche ci-dessus ⇒
y / x = sin(θ) / cos(θ)    ⇔
par n_tan(α)=sin(α)/cos(α)
y / x = tg(θ)    ⇔
θ = arctg( y / x )

complexe-arctg.png

N.B. Lors de l’emploi de la fonction arctan il faut veiller à choisir le quadrant correct pour θ, en ajoutant éventuellement 180° selon les signes des x et y. Ainsi le graphique ci-contre montre que lorsque x<0 la valeur donnée par la calculatrice (ici 56,3°) devra être augmentée de 180° afin d'obtenir la valeur de l'argument du nombre complexe. Cela est du au fait qu'une valeur de tangente correspond toujours à deux valeurs d'angles différant de 180°.


La forme polaire présente l'avantage de faciliter le calcul des produits et puissances de nombres complexes. La version du produit de complexes sous forme polaire s'obtient de la même façon que sous forme cartésienne n_complexe-produit-cartesien : par distribution :

[ ρ1 * ( cosθ1 + i * sinθ1 ) ] * [ ρ2 * ( cosθ2 + i * sinθ2 ) ] =
ρ1 * ρ2 * [ cos(θ1 * cos(θ2) - sin(θ1 * sin(θ2) ] + i * [ cos(θ1) * sin(θ2) + sin(θ1) * cos(θ2) ] =
par n_sin(a+b) et n_cos(a+b) :
ρ1 * ρ2 * [ cos( θ1 + θ2 ) + i * sin( θ1 + θ2 ) ]
⇒ en posant : ρ1 * ρ2 = ρ3  et  θ1 + θ2 = θ3
puis en réitérant le procédé on voit que l'on peut finalement généraliser par :
i=1 n ( ρi * ( cosθi + i * sinθi ) = ∏i=1 n( ρi ) * [ cos(∑i=1 nθi) + sin(∑i=1 nθi) ]
où n est un nombre entier positif, et dont un cas particulier remarquable est celui de ρi = ρ et θi = θ ∀ i :
[ ρ * ( cos(θ) + i * sin(θ) ] n = ρ n * ( cos( n * θ ) + i * sin( n * θ )

complexe-produit-polaires.png

Le graphique ci-contre illustre n_complexe-produit-polaire pour n=2.


complexe-cercle.png

Il résulte de n_complexe-produit-polaire que le produit de nombres complexes de module égal à 1 est également un module de valeur 1, de sorte qu'ils sont situés sur le même cercle de rayon 1 et centré sur l'origine. Ainsi le point de ce cercle correspondant à l'angle de 45° a comme partie réelle cos(45) et comme partie imaginaire sin(45) par n_complexe-polaire, qui valent toutes deux 1/√2 par n_sin(45)=cos(45)=1/√2. En développant le carré de ce complexe 1/√2 + i * 1/√2 on montre qu'il est égal à √i. Le graphique illustre notamment le cas où il est élevé à la puissance trois : sa valeur devient i * √i et son argument 3*45°=135° par n_complexe-produit-polaire.

On va maintenant démontrer que n_complexe-puissance-polaire est également vérifiée lorsque n est négatif :
[ ρ * ( cos(θ) + i * sin(θ) ] -n =
ρ -n * 1 / [ ( cos(θ) + i * sin(θ) ] n =
par n_complexe-produit-polaire où ρ=1 :
ρ -n * 1 / [ ( cos( n * θ ) + i * sin( n * θ ) ] =
par n_complexe-division :
ρ -n * [ cos( n * θ ) - i * sin( n * θ ) ] / | cos( n * θ ) + i * sin( n * θ ) | 2 =
par n_complexe-modules où ρ=1 :
ρ -n * [ ( cos( n * θ ) - i * sin( n * θ ) ] =
ρ -n * [ ( cos( - n * θ ) + i * sin( - n * θ ) ]
CQFD

complexe-puissance-negative.png

Le graphique ci-contre illustre géométriquement la forme polaire de la puissance négative d'un nombre complexe.


Inverse et quotient de complexe. Il découle de n_complexe-puissance-polaire que :
1/z = 1/ρ * ( cos( - θ ) + i * sin( - θ )

z1 / z2 = z1 * ( 1 / z2 ) = ρ1 / ρ2 * [ cos( θ1 - θ2 ) + i * sin( θ1 - θ2 ) ]

Racines de
complexe

Nous avons vu que n_complexe-puissance-polaire est vérifiée pour n'importe quel nombre n entier. Mais est-ce encore le cas si n est fractionnaire c-à-d si n ∈ ℝ ? La réponse est négative : n_complexe-puissance-polaire doit être complétée pour vérifier ce cas.

Pour être mathématiquement rigoureux, il faut préciser que m/n est un nombre rationnel (m et n sont des entiers) or les réels comprennent également les nombres irrationnels (qui ne peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction).

En raison de la périodicité des fonctions cosinus et sinus, l'argument d'un complexe est toujours défini à un multiple (k) de 360° c-à-d de 2*π rad près. Il en va donc de même pour le complexe lui-même :
ρ * [ cos(θ) + i * sin(θ) ] = ρ * [ cos( θ + k * 2 * π ) + i * sin( θ + k * 2 * π )]
k est un entier (k ∈ ℤ).

Cela est sans effet sur n_complexe-puissance-polaire tant que n est entier, mais plus si on le remplace par 1/n car alors on obtient un nombre non entier (k/n) de tours 2*π. Il faut donc le mentionner dans n_complexe-puissance-polaire pour obtenir la totalité des racines :

[ ρ * ( cos(θ) + i * sin(θ) ] 1/n = ρ 1/n * ( cos( θ / n + k / n * 2 * π ) + i * sin( θ + k / n * 2 * π )
k { 0, 1, 2, ..., n-1 }

complexe-racines.png

Un nombre complexe possède donc n racines n-ièmes distinctes qui correspondent à n valeurs successives de k, comprises entre 0 et n−1. Ces racines sont situées sur le même cercle de rayon ρ1/n et centré sur l'origine. On a bien que 2*π/n est l'écart angulaire entre les arguments des racines, de sorte que la somme des angles ouverts par chaque racine forme .


En voici trois exemples.

complexe-racines-exple.png
Vidéos clipedia :
.1. Pourquoi est-ce que moins par moins donne plus ?
.2. Les nombres imaginaires
.3. Les nombres complexes
.4. Division des nombres complexes
.5. Représentation géométrique des nombres complexes
.6. Forme polaire des nombres complexes
.7. Produits et puissances de nombres complexes
.8. Puissances négatives de nombres complexes
.9. Racines des nombres complexes

Analyse combinatoire

https://jortay.net/savoir-de-base#analyse-combinatoire

Exemple 1. Dans un pays dont les numéros de plaques minéralogiques sont de type "3 lettres + 3 chiffres", pour déterminer le nombre total de plaques de ce type il faut multiplier entre eux le nombre de cas possibles : 26 * 26 * 26 * 10 * 10 * 10 = 17.576.000.

Le théorème fondamental du dénombrement, ou "principe de multiplication" se formule donc simplement par 1pni

Ce principe est simple, et pourtant les exercices de dénombrement ne le sont pas toujours. Il importe :

  1. d'identifier le nombre correct de facteurs, c-à-d la valeur de p (# opérations possibles) ;
  2. d'attribuer la valeur correcte à chaque facteur, c-à-d chaque ni (# résultats possibles par opération).

La valeur d'un ni varie selon que les résultats des opérations sont :

  • (in)dépendants : dans le cas ci-dessus (plaques minéralogiques) les possibilités sont indépendantes, mais si on impose que les lettres doivent être différentes alors il n'y a plus indépendance puisque le choix de la première lettre diminuera le nombre de possibilités pour la seconde et la troisième, et que le choix de la seconde diminuera à nouveau le nombre de choix pour la troisième ⇒ le nombre de cas possible devient : 26 * 25 * 24 * 10 * 10 * 10 = 15.600.000.
  • ordonnées ou pas : la formule n_denombrement prend en compte l'ordre d'arrangement c-à-d compte comme deux possibilités différentes AB et BA (par exemple).

    arrangements.png
    Exemple 2. Le tableau ci-contre montre qu'en recensant (par inversions et distributions) le nombre de combinaisons de quatre lettres (sans répétition d'une même lettre), on obtient un total de 12 ; ce nombre correspond bien à ce que l'on trouve par n_denombrement :
    # opérations (choisir une lettre puis une seconde) : p=2 ;
    # résultats possibles par opération : { n1=4 ; n2=3 } ;
    ⇒ ∏1pni = 4 * 3 = 12

    Dans ce dernier cas si on relâche la contrainte de non répétition, on ajoute alors quatre cas possibles (AA,BB,CC,DD) ⇒ 12+4=16, ce qui correspond bien à :
    # résultats possibles par opération : { n1=4 ; n2=4 } ;
    ⇒ ∏1pni = 4 * 4 = 16

Un autre exemple de dénombrement où l'ordre compte : si parmi dix compétiteurs on tire au sort les médailles d'or, d'argent et de bronze :
# opérations (tirages) : p=3 ;
# résultats possibles par opération : { n1=10 ; n2=9 : n3==8} ;
⇒ ∏1pni = 10 * 9 * 8 = 720

L'arrangement est donc un cas particulier de dénombrement où l'ordre compte. On le note An1p ou plus simplement Anp (A103 dans le dernier exemple ci-dessus), que l'on peut interpréter par « parmi n je prends p, et l'ordre compte » (NB : se lit "A n p").

On peut généraliser sa formulation comme suit :
Anp = n * (n - 1 ) * ( n - 2 ) * ... * ( n - p + 1 )    ⇔
où les premiers facteurs montrent bien que le nombre de résultats par opération vaut bien n moins le numéro de l'opération plus 1
Anp = n * (n - 1 ) * ( n - 2 ) * ... * ( n - p + 1 ) * [ ( n - p ) * ( n - p - 1) * ... * 1 ] / [ ( n - p ) * ( n - p - 1) * ... * 1 ]   ⇔
Anp = n ! / ( n - p ) !

Vidéos clipedia :
.1. Analyse combinatoire : dénombrement
.2. Analyse combinatoire : arrangements
.3. Analyse combinatoire : permutations et factorielles

Suites mathématiques

https://jortay.net/savoir-de-base#suites-mathematiques

Nous allons étudier ici les suite arithmétiques et géométriques.

Suites
arithmétiques

Une suite (u0, ... un) est dite "arithmétique" si ui = ui-1 + r ∀ i
où r est une valeur constante appelée "raison" de la suite.

Indice. On souhaite que l'indice d'un élément quelconque de la suite (le i de ui) représente le nombre d'intervalles entre lui et le premier éléments. C'est pourquoi l'on fixe à zéro l'indice du premier élément d'une suite. Il en résulte que l'indice du dernier élément de la suite vaut le nombre d'éléments de la suite moins 1 : trois points a, b et c déterminent bien deux distances |a-b| et |b-c| c-à-d 3-1, que l'on peut généraliser à n-1 pour un nombre arbitraire de points.

Ce principe d'indiçage vaut également pour les suites géométriques.

Graphe. Graphiquement une suite arithmétique se traduit par une droite, et c'est pourquoi l'on parle indifféremment de progression arithmétique ou linéaire [tableur].

Valeur d'un terme quelconque
Un première propriété de la suite arithmétique est que l'on peut calculer la valeur de n'importe lequel de ses termes (un) à partir de son indice (n), de la valeur du premier terme (u0) et de la raison (r) :
un = u0 + n * r
Démonstration à partir de suite-arithmetique :
un = un-1 + r ⇔
un = (un-2 + r ) + r = un-2 + 2 * r    ⇒
que l'on peut généraliser en remplaçant 2 par n :
un = un-n + n * r    ⇔
un = u0 + n * r    ⇔
CQFD

Valeur de la somme des termes
Par n_suite-arithm-valeur-terme :
i=0n   ui = ∑i=0n   ( u0 + i * r )    ⇔
i=0n   ui = ( n + 1 ) * u0 + r * i=0n   i
Or l'on démontre que :
i=0n   i = n * ( n + 1 ) / 2
en constatant que si :
• I = (0, 1, 2, 3, ..., n-1, n)
• I' = (n, n-1, ..., 3, 2, 1, 0)    ⇒
I + I' = ( U0=n, U1=n, U3=n, ..., Un=n )    ⇒
i=0n   ui = ( n + 1 ) * u0 + r * n * ( n + 1 ) / 2    ⇔
i=0n   ui = ( n + 1 ) * ( u0 + r * n / 2 )
Ainsi l'on peut calculer la somme d'une suite arithmétique à partir du nombre de ses éléments (n+1), de la valeur du premier élement (u0) et de la raison (r).

On peut également exprimer la somme des termes en fonction de la moyenne :
un = u0 + n * r    ⇔
n * r / 2 = ( un - u0 ) / 2    ⇒
i=0n   ui = ( n + 1 ) * [ u0 + ( un - u0 ) / 2 ]    ⇔
i=0n   ui = ( n + 1 ) * (u0 + un ) / 2    ⇔
i=0n   ui = ( n + 1 ) * Sn

Suites
géométriques

Une suite (u0, ... un) est dite "géométrique" si ui = ui-1 * r ∀ i
où r est une valeur constante appelée "raison" de la suite.

suite-geom.png

Graphe. Graphiquement une suite géométrique se traduit par une exponentielle, et c'est pourquoi l'on parle indifféremment de progression géométrique ou exponentielle [tableur].

Valeur d'un terme quelconque
Un première propriété de la suite géométrique est que l'on peut calculer la valeur de n'importe lequel de ses termes (un) à partir de son indice (n), de la valeur du premier terme (u0) et de la raison (r) :
un = u0 * r n
Démonstration à partir de suite-geometrique :
un = un-1 * r ⇔
un = (un-2 * r ) * r = xn-2 * r 2    ⇒
que l'on peut généraliser en remplaçant 2 par n :
un = un-n * r n
un = u0 * r n
CQFD

Valeur de la somme des termes
Par n_suite-geom-valeur-terme :
i=0n   ui = ∑i=0n   ( u0 * r i )    ⇔
i=0n   ui - r * ∑i=0n   ui = ∑i=0n   ( u0 * r i ) - r * ∑i=0n   ( u0 * r i )    ⇔
i=0n   ui * ( 1 - r ) = ∑i=0n   ( u0 * r i ) - ∑i=0n   ( u0 * r i+1 )    ⇔
i=0n   ui * ( 1 - r ) = u0 * ( ∑i=0n   r i - ∑i=0n    r i+1 )    ⇔
Technique (artifice mathématique) dit de la "somme téléscopique.
i=0n   ui * ( 1 - r ) = u0 * ( 1 - r n+1 )    ⇔
i=0n   ui = u0 * ( 1 - r n+1 ) / ( 1 - r )
Ainsi l'on peut calculer la somme d'une suite géométrique à partir du nombre de ses éléments (n+1), de la valeur du premier élement (u0) et de la raison (r).

suite-geom-raison-negative.png

Raison négative. Si le cas de r<0 est trivial dans le cas d'une suite arithmétique (droite à pente négative) , ce ne l'est plus dans celui d'une suite géométrique car le signe des termes y alterne constamment : c'est alors une oscillation exponentielle que l'on constate (indécelable au début) [tableur].

Problème. Supposons un nénuphar doublant de taille chaque jour, de telle sorte qu'il recouvre la totalité du lac en 365 jours. Après combien de temps a-t-il rempli la moitié du lac ?

Résolution :
Il double de taille chaque jour : r = 2.
Il recouvre la totalité du lac en 365 jours : u365 = 2365 par n_suite-geom-valeur-terme.
⇒ de même, le nombre n de jours après lesquels le lac est à moitié recouvert est tel que :
2365 / 2 = 2 n    ⇔
n = log2(2365 / 2)   ⇔
n = log2(2365) - log2(2)   ⇔
n = 365 - 1 = 364
NB : on peut arriver à ce résultat par un raisonnement plus intuitif : comme la totalité du lac est couverte en i=365 et que la surface double chaque jour, la moitié du lac a donc été couverte en i=365-1 ...

Nous avons vu que les fonctions logarithme et exponentielle sont réciproques n_exp-log-reciproques, de sorte que si l'on applique un affichage logarithmique à une courbe exponentielle on obtient une droite [tableur]. Cela est vrai également dans le cas d'une raison négative, c-à-d d'une sismoïde exponentielle puisqu'il n'y a pas de valeur pour le logarithme d'un nombre négatif (sauf si l'on recourt aux nombres imaginaires).

Résumé

Le tableau suivant permet de comparer les formules des suites mathématiques selon leur type arithmétique ou géométrique.

DéfinitionTerme n∑ termes
Arithm.ui = ui-1 + run = u0 + n * ri=0n   ui = ( n + 1 ) * ( u0 + r * n / 2 )
Géom.ui = ui-1 * run = u0 * r ni=0n   ui = u0 * ( 1 - r n+1 ) / ( 1 - r )
Vidéos clipedia :
.1. Les suites arithmétiques : introduction
.2. Les suites arithmétiques : sommes et applications
.3. Les suites géométriques

Fonction exponentielle

https://jortay.net/savoir-de-base#exponentielle

La fonction exponentielle est illustrée ici par le phénomène biologique de division cellulaire de bactéries par fission binaire. La durée d'une fission, appelé temps de génération (TG), se situe en 15 minutes et quelques heures.

Cette fonction est f(x) = 2xx est le nombre de générations.

Pour illustrer la dynamique de la multiplication exponentielle on va mesurer l'espace pris après 24 heures par la multiplication de la bactérie "Escherichia coli", qui constitue 80% de notre flore intestinale (mais dont certaines souches sont pathogènes pour les intestins). Sa taille est environ 2*0,5 µm ("microns") ⇒ sa surface est de 1 µm2 = 10-12 m2 (invisible au microscope optique).

Soit TG=16min ⇒ le nombre de générations après 24 heures est de 24*60/16=90 ⇒ le nombre de bactéries est alors 290=1,24*1027 ⇒ elles occupent une surface de 1,24*1027*10-12 m2=1,24*1015 m2 ... soit plus du double de la surface de la Terre (0,51*1015 m2) ! Ainsi puisque chaque génération double le nombre total de cellules, il en résulte que l'augmentation de surface entre les 89° et 90° générations équivaut à la surface de la Terre ! La croissance exponentielle est donc un phénomène qu'il n'est pas facile d'appréhender intuitivement.

On généralise la formulation de l'exponentielle par f(x) = bx, où b est la "base" de la fonction exponentielle.

NB : la fonction est dite "exponentielle" car la variable x est mise à l'exposant. Pour faciliter la notation ex est parfois écrite exp(x).

On peut étudier formellement la dynamique de la fonction exponentielle en calculant sa dérivée :
f '(x) = ( f ( x + dx ) - f (x) ) / dx n_derivee   ⇒
(2x)' = ( 2( x + dx ) - 2x ) / dx    ⇔ par n_produit-de-puissances :
(2x)' = ( 2x * 2dx - 2x ) / dx    ⇔
(2x)' = 2x * ( 2dx - 1 ) / dx

( 2dx - 1 ) / dx = 0/0    ⇒
pour lever l'indétermination on va tester des petites valeurs de x :
• si dx=0,01 ⇒ ( 2dx - 1 ) / dx = 0,695...
• si dx=0,001 ⇒ ( 2dx - 1 ) / dx = 0,693...
• si dx=0,0001 ⇒ ( 2dx - 1 ) / dx = 0,693...    ⇒
(2x)' = 2x * 0,693
où 0,693 est donc la valeur de la pente de la fonction 2x à l'origine c-à-d pour x=0 : (2x)'|x=0 = 0,693.
Interprétation : le taux de croissance de la fonction exponentielle est lui-même une fonction exponentielle ⇒ on comprend mieux maintenant l'impressionnante croissance spatiale de la division cellulaire.

exponentielle.png

De même on pourra calculer que :
(10x)' = 10x * 2,303 ⇒ (10x)'|x=0 = 2,303

Exponentielle naturelle. On va alors calculer la valeur (appelons-là e) de la base b, correspondant à une pente unitaire à l'origine de la fonction ex (dite exponentielle "naturelle"), c-à-d telle que :
(ex)' = ex * ( edx - 1 ) / dx = ex
e est donc telle que la dérivée de la fonction ex est égale à cette même fonction !

Pour ce faire on va à nouveau procéder par essais-erreurs en partant de b=2 :
• si b=2,5 ⇒ (2,5x)'|x=0 = 0,916  ⇒ je peux encore augmenter la base :
• si b=3 ⇒ (3x)'|x=0 = 1,098  ⇒ je dois diminuer la base :
• si b=2,7 ⇒ (2,7x)'|x=0 = 0,993  ⇒ je dois augmenter la base :
• si b=2,72 ⇒ (2,72x)'|x=0 = 1,001  etc... ⇒
e=2,718282..

exponentielle-naturelle.png

Logarithme naturel. Nous avons vu dans la section consacrée à la fonction logarithme que celle-ci est réciproque de la fonction exponentielle (et réciproquement) :
f(x) = e x   ⇔   loge (e x) ≡ ln (e x) = x n_log-def-longue
b = e ln(b) n_exp-log-reciproques
de sorte que l'on peut exprimer une exponentielle de base quelconque comme une exponentielle de base e :
bx = ( e ln(b) ) x   ⇔    par n_puissance-de-puissance :
bx = e ln(b) * x   ⇒
( bx ) ' = ( e ln(b) * x ) '   ⇔    par n_derivee-fonction-composee :
( bx ) ' = d( e ln(b) * x ) / d( ln(b) * x ) * d(ln(b) * x) / dx   ⇔    par exponentielle-naturelle :
( bx ) ' = e ln(b) * x * ln(b)   ⇒
soit ln(b) = a    ⇒
( e a * x ) ' = a * e a * x
qui est une d'équation différentielle de type f '(x) = a * f(x), qui permet de décrire de nombreux phénomènes physiques où biologiques dont la variation est proportionnelle à la grandeur elle-même,et dont la solution est de type exponentielle.

expo-asymptote

Analyse géométrique. La fonction exponentielle est asymptotique (à l'axe horizontal ) pour x --> - ∞ mais il n'y a pas de tendance asymptotique pour x --> + ∞ puisque x doit augmenter infiniment pour que ex augmente infiniment.


La méthode appliquée supra pour calculer la valeur de e est grossière. La méthode d'Euler permet de calculer facilement cette valeur, avec une précision arbitraire. Elle repose sur le fait qu'aucune autre fonction que f(x)=ex est telle que f(x)'=f(x). Elle consiste à utiliser une fonction f(x) que l'on fait progressivement approcher de ex :

exponentielle-decomposition.png

Étape 1. On commence avec l'équation de la tangente de ex à l'origine. :
f(x) = 1 + x
qui est telle que :
limx→0 1 + x = ex

Étape 2. On complète f(x) pour en faire polynôme du second degré :
f(x) = 1 + x + a * x2
⇒ on calcule la valeur de a telle que f(x) vérifie la propriété caractéristique de l'exponentielle c-à-d telle que :
f(x)' = f(x)    ⇒
( 1 + x + a * x2 )' = 1 + x + a * x2    ⇔
1 + 2 * a * x = 1 + x + a * x2    ⇔
a = 1 / ( 2 + x )
or :
limx→0 1 / ( 2 + x ) = 1/2
⇒ on pose a=1/2 ⇒ :
f(x) = 1 + x + 1/2 * x2

Étape 3. On complète f(x) pour en faire un polynôme du troisième degré :
1 + x + 1/2 * x2 + b * x3    ⇒
on calcule la valeur de b telle que f'(x) = f(x) :
( 1 + x + 1/2 * x2 + b * x3 )' = 1 + x + 1/2 * x2 + b * x3    ⇔
b = 1 / ( 6 - 2 * x )
or :
limx→0 1 / ( 6 - 2 * x ) = 1/6
⇒ on pose b=1/6 ⇒ :
f(x) = 1 + x + 1/2 * x2 + 1/6 * x3    ⇒

Étape 4. On complète f(x) pour en faire un polynôme du quatrième degré :
1 + x + 1/2 * x2 + 1/6 * x3 + c * x4    ⇒
on calcule la valeur de b telle que f'(x) = f(x) :
( 1 + x + 1/2 * x2 + 1/6 * x3 + c * x4 )' = 1 + x + 1/2 * x2 + 1/6 * x3 + c * x4   ⇔
c = 1 / ( 24 - 6 * x )
or :
limx→0 1 / ( 24 - 6 * x ) = 1/24
⇒ on pose c=1/24 ⇒ :
f(x) = 1 + x + 1/2 * x2 + 1/6 * x3 + 1/24 * x4
où l'on constate que les dénominateurs ui des coefficients constituent une suite de type :
ui = i !
i est également le degré polynomial associé au terme de la suite; ou encore le rang du terme dans la suite.

Étape 5. On peut alors, par généralisation à un degré arbitraire n, établir la formulation de f(x) pour une précision arbitraire n :
f(x) = 1/0! + 1/1! * x + 1/2! * x2 + 1/3! * x3 + 1/4! * x4 + ... + 1/n! xn    ⇒
f(x) = ∑n=0    xn / n!

NB : 0!=1 par définition.

On obtient ainsi la décomposition en série entière de la fonction exponentielle :
ex = ∑n=0    xn / n!
⇒ pour calculer la valeur de e il suffit de poser x=1 ⇒
e = ∑n=0    1 / n!    ⇔
e = 1 +1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + ... = 2,71828182846...
Euler a montré qu'il s'agit d'un nombre irrationnel c-à-d ne pouvant être égal au quotient de deux nombres.

Exponentielle
imaginaire
Il peut être utile dans certains calculs de transformer une exponentielle imaginaire de base quelconque b i en exponentielle naturelle e f(i) :
par n_exp-log-reciproques :
b i = ( e ln(b) ) i    ⇔
par n_puissance-de-puissance :
b i = e i * lnb

Plus généralement on souhaite exprimer la fonction :
f(θ) = e i * θ    où θ ∊ ℝ
sous forme de son complexe :
f(θ) = e i * θ = x(θ) + i * y(θ)
⇒ on doit déterminer les fonctions x(θ) et y(θ).

Étape 1 :
par n_module-complexe :
| e i * θ | 2 = e i * θ * e -i * θ    ⇔ par n_produit-de-puissances :
| e i * θ | 2 = e 0    ⇔ par n_exposant-zero :
| e i * θ | 2 = 1
⇔ le graphe de la fonction ex a la forme d'un cercle centré sur l'origine des axes représentant les parties réelle et imaginaire du complexe x(θ) + i * y(θ).

Étape 2. Pour définir l'équation de ce cercle on va calculer sa dérivée :
par n_(ea*x)' :
de i * θ / dθ = i * e i * θ

formule-euler.png
Étape 3. On exprime f(θ) sous forme polaire :
f(θ) = e i * θ = x(θ) + i * y(θ)    ⇔ par n_complexe-polaire :
f(θ) = e i * θ = cos[ φ(θ) ] + i * sin[ φ(θ) ]
⇒ en identifiant φ(θ) on pourra identifier
• x(θ) = cos[ φ(θ) ]
• y(θ) = sin[ φ(θ) ]

Étape 4.
  • On substitue le résultat f(θ) de l'étape 3 dans celui de l'étape 2 ⇒
    de i * θ / dθ = i * e i * θ = i * ( cos[ φ(θ) ] + i * sin[ φ(θ) ] )   ⇒
    de i * θ / dθ = i * e i * θ = i * cos[ φ(θ) ] - sin[ φ(θ) ]
  • On égalise le résultat de l'étape 2 à la dérivée de f(θ) :
    i * e i * θ = [ x(θ) + i * y(θ) ] '    ⇔
    i * e i * θ = x '(θ) + i * y '(θ)    ⇒ par n_sinus et n_cos(a)=x/R :
    i * e i * θ = ( cos[ φ(θ) ] ) ' + i * ( sin[ φ(θ) ] ) '    ⇔ par n_derivee-cos n_derivee-sin n_derivee-fonction-composee :
    i * e i * θ = - sin[ φ(θ) ] ) * φ '(θ) + i * cos[ φ(θ) ] ) * φ '(θ)
  • ⇒ on constate l'égalité des résultats des deux points ci-dessus :
    i * cos[ φ(θ) ] - sin[ φ(θ) ] = - sin[ φ(θ) ] ) * φ '(θ) + i * cos[ φ(θ) ] ) * φ '(θ)    ⇔
    i * cos[ φ(θ) ] - sin[ φ(θ) ] = ( - sin[ φ(θ) ] + i * cos[ φ(θ) ] ) * φ '(θ)    ⇔
    φ '(θ) = 1    ⇒
    φ(θ) = θ + c
    or le graphique montre que si θ=0 ⇒ φ(θ)=0
    ⇒ c = 0 ⇒
    φ(θ) = θ
    φ(θ) est donc tout simplement la fonction identité.
formule-euler-2.png
Étape 5. On injecte le résultat de l'étape 4 dans celui de l'étape 3 :
• x(θ) = cos[ φ(θ) ] = cos(θ)
• y(θ) = sin[ φ(θ) ] = sin(θ)
⇒ la formule d'Euler :
e i * θ = cos(θ) + sin(θ) * i
θ est en radians.
On notera ces valeurs particulières, calculées par partir de n_formule-euler :
• e i * 0 = 1
• e i * π/2 = i
• e i * π = -1  ⇔ e i * π + 1 = 0    ("identité d'Euler")
• e i * 3π/2 = -i

N.B. Le cercle trigonométrique a pour caractéristique que son rayon vaut 1 :
par n_module-complexe :
| e i*θ | = √ ( cos2(θ) + sin2(θ) )    ⇔
par n_sin2(a)+cos2(a)=1 :
| e i*θ | = 1
ce qui implique que θ doit être un nombre réel c-à-d qu'il ne peut être un nombre complexe :
ei*(a+i*b) = ei*a-b = ei*a * e-b
or
| ei*a | = 1    ⇒
| ei*a * e-b | = 1 ⇔ b=0
CQFD

Nous allons maintenant illustrer le fait que e i * θ est la représentation algébrique du cercle trigonométrique.

expo-imagin-illustration1.png

Nous avons vu que :
a i = ( e ln(a) ) i    ⇔
a i = e i * ln(a)
Ainsi le point a i (en noir) correspond à l'angle d'arc-tangente ln(a) (en vert).)


Logarithme imaginaire. Il est alors très facile de calculer ln(i) :
e i * π/2 = cos(π/2) + i * sin(π/2) = i
et d'autre part :
i = eln(i)    ⇒
ln(i) = i * 1/2 * π + i * 2*k*π

On montre de la même manière que :
ln(-i) = i * 3/2 * π + i * 2*k*π
ln(-1) = i * π + i * 2*k*π
N.B. Ce dernier résultat est remarquable : on peut maintenant calculer le logarithme d'un nombre négatif :
ln(-|x|) = ln(-1 * |x| )    ⇔ par n_produit-de-log :
ln(-|x|) = ln(-1) + ln(|x|)    ⇔
ln(-|x|) = ln(|x|) + i * π + i * 2*k*π
qui est un nombre imaginaire dont la partie réelle vaut ln(|x|) et la partie imaginaire vaut π+2*k*π.

Applications. On va maintenant montrer que l'exponentielle imaginaire est très pratique pour représenter les nombres complexes et en étudier les propriétés.

Ainsi l'on va pouvoir démontrer plus simplement certaines propriétés des nombres complexes, à commencer par la formule du produit de complexes n_complexe-produit-polaire : soit :
z = ρ * ( cos(θ) + i * sin(θ) ) ⇒ par n_formule-euler :
z = ρ * e i*θ    ⇒
z1 * z2 = ρ1 * ρ2 * e i*θ1 * e i*θ2   ⇔
z1 * z2 = ρ1 * ρ2 * e i*(θ12)
que l'on peut évidemment généraliser à :
i=1 n zi = ∏i=1 n( ρi ) * e i * ∑i=1 nθi
où n est un nombre entier positif, et dont un cas particulier remarquable est celui de :
ρi = ρ  et  θi = θ  ∀ i ⇒
z n = ρ n * e i * ( n * θ )
• qui est valable pour n < 0    ⇒
    - inverse : 1 / z = 1 / ρ * e i * ( - θ )
    - division : z 1 / z 2 = ρ 1 / ρ 2 * e i * ( θ1 - θ2 )
• qui est aussi valable pour n fractionnaire    ⇒
   - z1/n = ρ 1/n * e i * [ 1/n * (θ+2kπ) ]

La notion d'exponentielle imaginaire facilite également la démonstration de propriétés de fonctions trigonométriques, à commencer par la fonction sin(2*a). Pour ce faire on part de la formule d'Euler :
e i * θ = cos(θ) + sin(θ) * i n_formule-euler
qui nous dit que le cos est la partie réelle du complexe, et le sin sa partie imaginaire :
• cos(θ) = Re[ei*θ]
• sin(θ) = Im[ei*θ]

sin(2a) = Im[ei*2*a]    ⇔ par n_produit-de-puissances :
sin(2a) = Im[ei*a * ei*a]    ⇔
sin(2a) = Im[ ( cos(a) + i * sin(a) ) * ( cos(a) + i * sin(a) ) ]    ⇔
sin(2a) = Im[ cos2(a) - sin2(a) + i * 2 * cos(a) * sin(a) ) ]    ⇔
sin(2a) = 2 * cos(a) * sin(a)    ⇔
CQFD
qui est effectivement plus simple que la démonstration géométrique de n_sin(a+b).

On procède de même pour démontrer :
cos(a+b) = Re[ e i*(a+b) ]    ⇔
cos(a+b) = Re[ e i*a * e i*b ]    ⇔
cos(a+b) = Re[ ( cos(a) + i * sin(a) ) * ( cos(b) + i * sin(b) ) ]    ⇔
cos(a+b) = Re[ cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b) + i * (...) ]    ⇔
cos(a+b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b) ]
CQFD Encore une fois on est plus obligé de démontrer géométriquement par des montages sur le cercle trigonométrique, grâce au fait que la fonction exponentielle imaginaire est une représentation mathématique du cercle trigonométrique ⇒ on peut rester dans le domaine de l'algèbre.

Pour terminer on va démontrer :
cos(a) + cos(b) = 2 * cos[ ( a + b ) / 2 ] * cos[ ( a - b ) / 2 ]
en partant du fait que par n_imaginaire-addition :
cos(a) + cos(b) = Re[ e i*a + e i*b ]    ⇔
en appliquant un artifice mathématique :
cos(a) + cos(b) = Re[ e i*(a+b)/2 * ( e i*(a-b)/2 + e - i*(a-b)/2 ) ]
où :
e i*(a-b)/2 + e - i*(a-b)/2
est la somme de deux complexes conjugués.
Or :
e i*a + e -i*a = [ cos(a) + i * sin(a) ] + [ cos(a) + i * sin(a) ] = 2 * cos(a)    ⇔
cos(a) = ( e i*a + e - i*a ) / 2
qui est la définition moderne du cosinus, ou encore que cos(a) est la partie réelle de ei*a !
De la même manière on démontre que :
sin(a) = ( e i*a - e - i*a ) / ( 2 * i )

e i*(a-b)/2 + e - i*(a-b)/2 = 2 * cos[ (a-b) / 2 ]
NB : qui est un nombre réel    ⇒
cos(a) + cos(b) = Re[ e i*(a+b)/2 ] * 2 * cos[ (a-b) / 2 ]    ⇔
cos(a) + cos(b) = cos[ (a+b) / 2 ] * 2 * cos[ (a-b) / 2 ]
CQFD

expo-imagin-applications.png

Cette démonstration aurait été nettement plus difficile à démontrer sans recourir à l'exponentielle imaginaire, ce qui confirme la puissance de celle-ci pour résoudre de nombreux problèmes mathématiques, mais également modéliser de nombreuses applications caractérisées par des variations harmoniques c-à-d sinusoïdales :

  • le nuage électronique qui vibre avec une certaine fréquence (ω dans la formule de l'image ci-contre) ;
  • l'onde que propage le laser ;
  • les variations du courant et de la tension de l'électricité alternative.

Vidéos clipedia :
.1. La fonction exponentielle
.2. Le nombre "e"
.3. La fonction exponentielle imaginaire
.4. L’exponentielle imaginaire : illustrations

Matrices

https://jortay.net/savoir-de-base#matrices

Les matrices permettent de simplifier le calcul des solutions d'un système d'équations, par exemple le système d'équations linéaire à deux inconnues : x et y

a * x + b * y = p
c * x + d* y = q

dont on constate que les membres de gauche correspondent à des produits scalaires n_F*L=Fx*Lx+Fy*Ly :

(a, b) . (x, y) = p
(c, d) . (x, y) = q

de sorte que le système peut être représenté sous forme matricielle comme suit :

ab
cd
*
x
y
=
p
q

Déterminant

https://jortay.net/savoir-de-base#matrice-determinant
Produit
matriciel
basique

En simplifiant l'écriture de la forme matricielle ci-dessus par A * X = P, on définit alors le membre de gauche comme étant un "produit matriciel", et dont la règle de calcul est comme suit :

  • première ligne de P : produit scalaire de la première ligne de A avec la "matrice colonne" X (on dit aussi "vecteur colonne") ;
  • seconde ligne de P : produit scalaire de la deuxième ligne de A avec la colonne de X.

Il résulte de A * X = P que l'on pourrait calculer simultanément l'ensemble des solutions du système par le produit de l'inverse de A avec P : X = A-1 * P

Pour le montrer calculons les solutions de n_syst-2-equ-lin sans recourir aux matrice. Pour ce faire on multiplie la première équation par le coefficient de y dans la seconde équation (d), puis on multiplie la seconde équation par le coefficient de y dans la première équation (b), enfin on soustrait les deux équations, ce qui donnent la valeur de x. Ensuite on effectue le même type d'opération pour obtenir la valeur de y. Et l'on obtient :

x = d * p − b * q / ( a * d − b * c )
y = a * q − c * p / ( a * d − b * c )

Déterminant de A. On constate que les deux solutions ont même dénominateur. On l'appelle appelle "déterminant de A" car si sa valeur est nulle il détermine que x et y sont infinis c-à-d que le système n'a pas d'équation. Il est noté det(A) et l'on constate que sa valeur correspond au produit scalaire des éléments de la diagonale principale (↘) de A par ceux de l'autre diagonale (↙) :

det
ab
cd
= a * d − b * c

Le système devient alors :
det(A) * x = d * p − b * q
det(A) * y = a * q − c * p

que l'on récrit pour symétriser :
det(A) * x = d * p - b * q
det(A) * y = - c * p + a * q

de sorte que les deux membres peuvent être écrits sous forme matricielle :

det(A) * x
det(A) * y
=
d-b
-ca
*
p
q
   ⇔

on met det(A) en évidence puis on le fait passer dans le membre de droite, de sorte que l'on obtient la solution par déterminants correspondant à produit-matriciel-base :

x
y
= 1 / det(A) *
d-b
-ca
*
p
q


que l'on compare à :
X = A-1 * P
pour en déduire que :

A-1 = 1 / det(A) *
d-b
-ca


Où l'on notera que la matrice ressemble quelque peu à A, sauf que :
• les éléments que la diagonale principale sont intervertis ;
• les éléments que la diagonale secondaire ont changé de signe.

Et l'on a bien que :
A * X = P  ⇒  X = A-1 * P

Addition

https://jortay.net/savoir-de-base#matrice-addition

La comparaison de n_syst-2-equ-lin et produit-matriciel-base montre que le produit d'une matrice par un scalaire, ainsi que l'addition de matrices, s'opèrent en appliquant élément par élément de matrice les principes du produit et de l'addition de scalaires. On comprend également que ne peuvent être additionnées que des matrices de dimensions #lignes x #colonnes égales.

Notation. Dans les indices de matrices le premier chiffre indique le nombre de lignes, et le second le nombre de colonnes. Ainsi la matrice Amxn est de dimension mxn c-à-d est composée de m lignes et n colonnes (NB : mxn est donc le nombre d'éléments de la matrice). Dans le cas des opération d'algèbre matricielle on utilise une notation en fonction des éléments aij :

Amxn =
a11a12...a1n
a21a22...a2n
............
am1am2...amxn
= (aij)

où :
i=1,...,m
j=1,...,n

Ainsi l'on démontre facilement la distributivité de la multiplication scalaire sur l’addition de matrices :
α * [ A + B ] =
α * [ (aij) + (bij) ] =
α * (aij + bij) =
[ α * ( aij + bij ) ] =
N.B. Les [ ] ci-dessus ne sont pas superflues : elles indiquent que le produit d'une matrice par un scalaire est encore une matrice.
( α * aij + α * bij) =
( α * aij ) + ( α * bij) =
α * ( aij ) + α * ( bij) =
α * A + α * B
CQFD

On démontre de la même manière :

  • l'associativité de l’addition de matrices : [A+B]+C=A+[B+C]
  • la commutativité de l’addition de matrices : A+B=B+A

Application. Une matrice constitue un outil mathématique idéal pour représenter et modifier une image numérique :

  • chaque élément de la matrice correspond à un point de l'image (pixel) ;
  • la valeur de chaque élément correspond à l’intensité lumineuse du point correspondant ;
  • la dimension de la matrice correspond à celle de l'image.

Ainsi dans le cas simple d’une image monochrome :

  • la matrice nulle, c-à-d ne comportant que des zéros, correspond à une image noire ⇔ la somme d’une image quelconque avec une image noire redonne l’image de départ, et pas une image noire ;
  • on créé un effet de fondu (superposer deux images) en additionnant les matrices correspondant à ces images ;
  • on modifie la luminosité d'une image en multipliant sa matrice par un scalaire.

Multiplication

https://jortay.net/savoir-de-base#matrice-multiplication

Nous disposons maintenant des éléments nécessaires pour définir le produit matriciel général. On peut le faire facilement à partir du produit de deux matrices carrées, que l'on détermine comme suit :

ab
cd
*
ef
gh
*
x
y
 =

ab
cd
*
e * x + f * y
g * x + h *y
 =

a * ( e * x + f * y ) + b * ( g * x + h *y )
c * ( e * x + f * y ) + d * ( g * x + h *y )
 =

( a * e + b * g ) * x + ( a * f + b * h ) * y
( c * e + d * g ) * x + ( c * f + d * h ) * y
 =

a * e + b * ga * f + b * h
c * e + d * g c * f + d * h
*
x
y
   ⇒

ab
cd
*
ef
gh
=
a * e + b * ga * f + b * h
c * e + d * g c * f + d * h

où l'on constate que l'élément i j de la matrice produit C=A*B est égal au produit scalaire de la ligne i de A par la colonne j de B, ce que l'on formule mathématiquement comme suit :
c i j = a i 1 * b 1 j + a i 2 * b 2 j = ∑k=12a i k * b k j

Et l'on voit que cette formule vaut également pour des matrices A et B de dimensions quelconque :
c i j = a i 1 * b 1 j + ... + a i n * b n j = ∑ k=1na i k * b k j.
pourvu que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B (car sans cette propriété il n'y a pas de produit scalaire possible) : A pxn * B nxq = C pxq .

Application. Il suffit des quatre lignes de code suivantes pour programmer la transcription informatique du dernier membre de la formule mathématique n_produit-matriciel. Cet algorithme permet à un ordinateur de calculer en quelques secondes une matrice produit scalaire comportant des millions d'éléments :

// Pour chaque ligne de la matrice produit Cpxq :
for (i=0;i<p;i++)
	// et pour chaque colonne de la matrice produit C mxn :
	for (j=0;j<q;j++)
		// le  produit scalaire ligne * colonne s'effectue :
		for (k=0;k<n;k++)
			// en  cumulant les produits des éléments homologues :
			c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];

Notez la similitude entre la dernière ligne de l'algorithme et le dernier membre de n_produit-matriciel.

Matrice 1x1. On notera enfin qu'une matrice 1x1 n'est pas un scalaire :
(c11) = C1x1 = A1xn * Bnx1 =

a11a12...ann
*
b11
b21
...
b2n
=
(c11 = ∑ k=1na i k * b k j)
qui est donc une matrice ne contenant qu'un seul élément, mais qu'il ne faut pas confondre avec le scalaire c11 ! Ainsi la multiplication d'une matrice quelconque ( dij ) par un scalaire est toujours possible :
c11 * ( dij ) = ( c11 * dij )
mais ce n'est pas le cas du produit de cette matrice quelconque par une matrice C1x1=( c11 ) :
( c11 ) * ( dij )
qui n'est n'est possible que si i=1

Il est intéressant de constater l'effet d'une commutation des matrices du produit ci-dessus :
Bnx1 * A1xn = Cnxn
qui est donc une matrice nxn !

b11
b21
...
b2n
*
a11a12...a1n
=

b11*a11...b11*a1n
.........
b2n*a11...b2n*a1n

Propriétés du produit matriciel :

  • Non commutativité :
    A lxn * B nxm = C lxm    ⇒
    B nxm * A lxn
    qui n'est possible que si m=l, et dont une condition nécessaire de commutativité est que m=l=n, de sorte que les deux matrices doivent être carrées et de dimensions égales ⇒ la commutativité n'est donc pas un cas général du produit matriciel. CQFD.
  • Distributivité de la multiplication matricielle sur l’addition matricielle :
    A * ( B + C ) =
    (aik) * [ (bkj) + (ckj) ] =
    (aik) * ( bkj + ckj ) =
    par n_produit-matriciel :
    ( ∑ k=1na i k * ( bkj + ckj ) ) =
    par distributivité entre scalaires, puis regroupements b et c :
    ( ∑ k=1na i k * bkj + ∑ k=1na i k * ckj ) =
    ( ∑ k=1na i k * bkj ) + ( ∑ k=1na i k * ckj ) =
    A * B + A * C
    CQFD
  • Associativité :
    (A * B ) * C =
    [ (ail) * (blk) ] * (ckj) =
    ( ∑l a il * b lk ) * (ckj) =
    ( ∑k [ ∑l a il * b lk ] * ckj ) =
    ( ∑k [ ∑l a il * b lk * ckj ] ) =
    par commutativité de la somme :
    ( ∑l [ ∑k a il * b lk * ckj ] ) =
    mise en évidence de a il :
    ( ∑l [ a il * [ ∑k b lk * ckj ] ] ) =
    ( a il ) * ( ∑k b lk * ckj ) =
    ( a il ) * [ ( b lk ) * ( ckj ) ] =
    A * ( B * C )
    CQFD

Identité

https://jortay.net/savoir-de-base#matrice-identité

On appelle "matrice identité" la matrice I = A-1 * A. On calcule sa valeur comme suit :

A-1 * A =
par n_matrice-inverse :
1 / det(A) *
d-b
-ca
*
ab
cd
=

1 / det(A) *
a * d - b * c0
0a * d - b * c
=

par n_determinant :

10
01

Que l'on peut généraliser au cas d'une matrice carrée quelconque nxn :

I = (ipq)   où   ipq = 0 si p≠q
1 si p=q


et que l'on démontre comme suit :
A * I =
(aik) * (ikj) =
par n_produit-matriciel
( ∑k=12a i k * i k j ) =
par définition n_matrice-identite :
( ∑k=12a 1i * i 1j + a 2i * i 2j +... + a ij * i jj + ... + a in * i nj) =
où tous les i sont nuls sauf i jj=1 ⇒
(aij) = A
CQFD (même principe pour I*A )

On démontre facilement qu'une matrice identité est nécessairement carrée, à partir de l'égalité :
I lxn * A nxm = A lxm
qui n'est possible pour A que si n=l
CQFD

Nous sommes maintenant en mesure de démontrer une quatrième propriété du produit matriciel : [A * B]−1 = B−1 * A−1
que l'on démontre en commençant par montrer que :
A * B * B−1 * A−1 =
A * A−1 = I
⇒ si on multiplie les deux membres extrêmes de cette égalité par [A * B]−1    ⇒
[A * B]−1 * B * A * B−1 * A−1 = [A * B]−1    ⇒
B−1 * A−1 = [A * B]−1
CQFD

Transformation

https://jortay.net/savoir-de-base#matrice-transformation

Nous allons voir ici que la notion de transformation est une application des matrices de dimension nxn (donc carrées). Nous allons étudier ici la transformation d'une image par transformation de ses coordonnées : X'2x1 = A2x2 * X2x1 où les vecteurs colonnes X et X' sont les vecteurs positions d'un pixel dans chacune des images, et A2x2 est la matrice de transformation.

Ainsi la symétrie axiale d'axe y d'une image (cf. graphique infra) peut s'écrire :

x' = -x
y' = y


x'
y'
=
-10
01
*
x
y

Symétrie axiale d'axe Y

symetrie-axe-Y.png

De même que n’importe quelle matrice carrée 2×2 peut être considérée comme une transformation d’image (ou encore comme une transformation du plan), plus généralement, une matrice carrée 3×3 peut être considérée comme une transformation d’objet à trois dimensions (transformation de volume).

Nous allons maintenant étudier quelques propriétés notables des transformations matricielles.

Réversion
La première propriété est particulièrement intuitive : l'inverse d'une matrice transformation est la matrice de la transformation inverse (on dit aussi "réciproque") :
X’ = A * X    ⇔
A−1 * X’ = A−1 * A * X    ⇔
A−1 * X’ = X
CQFD
On peut le vérifier en inversant le système d'équation de la transformation c-à-d en exprimant x et y en fonction de x' et y', puis en constatant que, ayant :

x'
y'
=
ab
cd
*
x
y


on a également que

x
y
=
ab
cd
*
x'
y'

On peut également le vérifier en calculant A-1 à partir de n_matrice-inverse. Ceci montre d'autre part qu'une transformation dont le déterminant est nul est par conséquent non réversible (dans le cas des transformations d'image, on dit que l'information sur l'image originelle été perdue lors de la transformation).

Matrice égale à son inverse :
à l'instar des scalaires :
A = A−1   ⇔   A2 = I
mais contrairement aux scalaires il n'y pas seulement A=I et A=-I comme solutions : il existe une infinité de matrices ayant pour propriété d'être égale à leur inverse. C'est par exemple le cas de la matrice telle que :

-1α
01
*
-1α
01
=
10
01

Transformations
multiples

La matrice B * A est la matrice d’une seule transformation équivalente à la transformation B appliquée à la transformation A :
X" = B * X' = B * A * X
À noter que l'ordre des transformations est l'inverse de celui de leur écriture formelle du produit, ce qu'il importe de ne pas perdre de vue dès lors qu'un produit matriciel n'est pas nécessairement commutatif (il l'est cependant dans certains cas, comme par exemple si A est une symétrie axiale d'axe Y et B une symétrie axiale d'axe X).

Rotation
On cherche à identifier la matrice transformant les points de coordonnées (1, 0) et (0, 1), qui sont aussi les coordonnées des vecteurs de base unitaires :

1x =
1
0
   et    1y =
0
1
    dans les directions x et y.

Les vecteurs transformés sont :

ab
cd
*
1
0
=
a
c


et

ab
cd
*
0
1
=
b
d


Où l'on voit que les colonnes successives de la matrice transformation carrée représentent des vecteurs qui sont les transformées de chacun des vecteurs de base.

Dans le cas d'une rotation d'un angle θ les figures suivantes illustrent le vecteur 1x et sa transformation (deux figures de gauche), puis le vecteur 1y et sa transformation (deux figures de droite) :
matrice-rotation.png
Par conséquent :

matrice-rotation-x.png
1'x =
a
c
=
cos θ
sin θ

matrice-rotation-y.png
1'y =
b
d
=
- sin θ
- cos θ


de sorte que :

ab
cd
=
cos θ- sin θ
sin θcos θ


Enfin ces résultats sont généralisables à des matrices de dimension 3.
matrice-rotation-3D.png
Vidéos clipedia :
.1. Les Matrices : introduction
.2. Le calcul matriciel : 1. L’addition
.3. Le calcul matriciel : 2. La multiplication
.4. Le calcul matriciel : 3. propriétés de la multiplication
.5. Le calcul matriciel : 4. La matrice identité
.6. Matrices et transformations

Optique

https://jortay.net/savoir-de-base#optique
lentille-spherique.png

Une lentille sphérique convergente a la forme d'une intersection de deux sphères.

Une lentille sphérique est caractérisée par son indice de réfraction (n), par son épaisseur et par les rayons de courbure de ses faces (c.-à-d. les rayons de chacune des deux sphères). S’ils ont la même valeur (R) la lentille est symétrique.

L’axe qui passe par les centres des sphères est l’axe optique de la lentille.

Les effets de cette lentille sur les rayons qui la traversent sont les suivants :

  • les rayons parallèles à l'axe optique convergent en un point de l'axe optique (le foyer de la lentille), et plus généralement les rayons seulement parallèles entre eux se croisent dans le plan focal de la lentille, plan perpendiculaire à l'axe optique et passant par le foyer ;
  • un rayon passant par le centre de la lentille n'est pas dévié.
plan-focal.png

À partir des deux effets ci-dessus ont peut déduire le trajet de n'importe quel rayon détourné par la lentille qu'il a traversée : il suffit de tracer sa parallèle passant par le centre de la lentille ⇒ son intersection avec le plan focal détermine le point focal, par lequel passe aussi le rayon dont on a pris la parallèle.

L'effet de cette lentille symétrique sur les rayons lumineux qui la traversent est modélisé par la loi de Snell-Descartes, relation exprimant la distance focale f (distance entre le centre de la lentille et son foyer) en fonction du rayon de courbure de la lentille et de l'indice de réfraction n de son matériaux : f = R / 2 * ( n - 1 ) [ n(verre)=1,5 ⇔ R=f ].

Cette modélisation est une approximation valable pour une lentille suffisamment mince, c’est-à-dire une lentille dont l’épaisseur est petite comparée à son diamètre et dont le diamètre est petit comparé aux rayons de courbures de ses faces. Pour des lentilles plus larges la concentration des rayons n'est plus ponctuelle.

Loi des lentilles. Soient les indices i pour "image" et o pour "objet", dans le graphique suivant les couples de triangles équivalents montrent que :
yi / yo = xi / xo (formule du grandissement)
yi / yo = - ( xi - f ) / f

xi / xo = - xi / f + 1    ⇔
1 / xo = - 1 / f + 1 / xi    ⇔
1 / xi - 1 / xo = 1 / f (relation de conjugaison)

Il s'agit de la conjugaison (taille et distance) entre points objet et image, qui sont dits "conjugués".

loi-optique-1.png

Quelques valeurs remarquables de la relation de conjugaison (et dont les valeurs son facilement vérifiables géométriquement) :

  • si  do = ∞  alors  di = f : un objet à l’infini a son image dans le plan focal ;
  • si  do = f  alors  di = ∞ : un objet dans le plan focal de la lentille a son image àl’infini ;
  • si  do = di  alors  do = di = 2 * f et l’image a la même taille que l’objet.

Si la distance séparant l'objet de la lentille est supérieure à 2*f, son image réfléchie par la lentille sera réduite, et tendra jusqu'à l'égalité au fur et à mesure que la distance objet (do) se rapprochera de 2f.

loi-optique-2.png

Un objet réfléchit dans toutes les directions la lumière qui l'éclaire, de sorte que les rayons qui arrivent dans la pupille de l'oeil ne sont pas parallèles (sauf si le point objet est située à l'infini).

Captage et enregistrement des images. Idéalement le foyer image et la paroi photosensible d'un enregistreur d'image (appareil photo, oeil humain, ...) doivent coïncider spatialement, sinon l'image d'un point objet ne sera pas un point mais une surface (le point est alors dit "flouté"). La mise au point (par l'oeil ou l'appareil photo) a pour fonction d'assurer cette coïncidence spatiale afin de minimiser le flou sur la partie souhaitée de l'image .

L'oeil humain est conçu pour concentrer un faisceau incident de rayons parallèles entre eux vers un point de sa rétine. Mais si les rayons proviennent d’un point proche, ils arrivent en divergeant. Sans adaptation de l'oeil, ils formeraient une tache lumineuse sur la rétine et ce point serait vu flou. Pour qu’ils soient malgré tout concentrés sur la rétine et qu'ainsi le point soit vu net, les muscles du cristallin se contractent pour le déformer et changer ses rayons de courbure (donc ses propriétés optiques).

La faculté d'adaptation de l'oeil a cependant ses limites : il existe une distance p ("punctum proximum") en-deçà de laquelle un objet ne pourra pas être vu net. Pour y remédier on peut utiliser une loupe.

La distance du punctum proximum augmente avec l’âge et dépend d’éventuels défauts de la vue (p. ex. myopie). Elle est géné-ralement comprise entre 10 cm et 50 cm.

lentille-loupe.png

Loupe et image virtuelle. Lorsque l'objet est situé à une distance inférieure à la distance focale, l'image est alors virtuelle : ce ne sont pas les rayons qui convergent mais leur prolongation virtuelle.

Le graphique suivant explique l'effet d'optique illustré par la photo ci-contre : l'image agrandie se situe virtuellement derrière l'oeil du personnage photographié, et ce que l'observateur voit c'est la projection de cette image. La loupe permet donc de situer le plan image au-delà du punctum proximum.

loupe-avec-ou-sans.png

La distance optimale entre l'oeil et la loupe est la distance focale car les rayons réfléchis par la loupe sont alors parallèles et l'oeil les concentrent en un point sur la rétine sans devoir s'adapter. On notera que dans ce cas l'image virtuelle est située à l'infini.

loupe-optimum.png

Le degré de grossissement (G) de la loupe est le rapport entre les tailles sur la rétine de deux images de l'objet : celle lorsqu’il est observé à la loupe à distance f et celle lorsqu’il est observé sans loupe à distance p. Le graphique montre que G = p / f.

Lentille
divergente

La lentille sphérique divergente est plus épaisse en ses bords qu'en son centre, contrairement à la lentille convergente. La distance focale d'une lentille divergente est négative, et son foyer est virtuel car déterminé par la prolongation virtuelle des rayons et non par les rayons eux-mêmes.

Plan focal image d'une lentille

plan-focal-image.png

Notez l'inversion des flèches de l'axe vertical

Rappel. La notion de foyer correspond à des rayons incidents parallèles. Le foyer image (réel ou virtuel) est donc toujours l’image (réelle ou virtuelle) d’un point à l’infini sur l’axe optique. Enfin la distance focale f est définie comme la valeur de l’abscisse (x) du foyer image.

photo-lentille-divergente.png

Le schéma suivant montre pourquoi l'image produite est plus petite que l'objet. Le lecteur pourra y vérifier facilement la cohérence avec la relation de conjugaison n_relation-conjugaison.

Le graphique suivant explique l'effet d'optique illustré par la photo ci-contre : le foyer image est devant la lentille et l'image réduite se situe entre celle-ci et le foyer.

lentille-divergente.png

Par le même type de construction géométrique on pourra facilement vérifier que si xo = f < 0 alors xi = f / 2, et que ce résultat est cohérent avec la formule de grandissement n_formule-grandissement.

Retour inverse. Si de la lumière est renvoyée sur elle-même, elle parcourt exactement le même rayon lumineux en sens contraire, y compris lorsqu’elle subit une réfraction. Cette propriété est la propriété de "retour inverse" de la lumière. Cette propriété est caractérisée par la notion de "foyer objet", dont le plan focal objet est symétrique au plan focal image c-à-d situé à une distance -f du centre de la lentille.

retour-inverse.png

Le graphique ci-dessus montre que les rayons lumineux qui proviennent d’un point du plan focal objet d’une lentille(convergente ou divergente) en ressortent sous forme d’un faisceau de rayon parallèles entre eux. L’image de ce point se trouve à l’infini. Si la lentille est divergente, un tel objet doit être virtuel (non démontré ici).

Le tableau suivant synthétise les propriétés des lentilles divergentes et convergentes.

Lentille
convergente
Lentille
divergente
foyer imageréel (après)virtuel (avant)
foyer objetréel (avant)virtuel (après)
distance focalepositivenégative
Avant/après est déterminé par rapport au sens de la lumière. Notez les symétries verticale et horizontale de ce tableau.
Vidéos clipedia :
.1. Les lentilles : introduction
.2. L’appareil photographique : principes de base
.3. La loupe
.4. Introduction à la loi des lentilles
.5. La relation de conjugaison des lentilles
.6. Les lentilles divergentes
.7. La vision
n_check

Infos


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